Câu hỏi:
31/01/2025 495Cho hàm số \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\sqrt {{\rm{x + 1}}} \]. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \[{{\rm{x}}_0} = 1\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
TXĐ: \[{\rm{D}} = [ - 1; + \infty )\]
\[{\rm{f'}}\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( 1 \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{\sqrt {{\rm{x}} + 1} - \sqrt 2 }}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{\rm{x}} + 1 - 2}}{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}} + 1} + \sqrt 2 } \right)}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{1}{{\sqrt {{\rm{x}} + 1} + \sqrt 2 }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\]
Đáp án cần chọn là: A
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \left( {{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + bx}}} \right){\rm{ = a + b = f}}\left( {\rm{1}} \right)\]
\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \left( {{\rm{2x}} - 1} \right) = 1\]
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = f}}\left( {\rm{1}} \right) \Leftrightarrow {\rm{a + b = 1}}\,\,\,\left( {\rm{1}} \right)\]
Khi đó ta có: \[{\rm{f'}}\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + bx}} - \left( {{\rm{a + b}}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{a}}\left( {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + b}}\left( {{\rm{x}} - {\rm{1}}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \left[ {{\rm{a}}\left( {{\rm{x + 1}}} \right){\rm{ + b}}} \right] = {\rm{2a + b}}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{\rm{2x}} - {\rm{1}} - \left( {{\rm{a + b}}} \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = 2\]
Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì
\[{\rm{f'}}\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( 1 \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( 1 \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} \Leftrightarrow {\rm{2a + b}} = 2\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 1}\\{2a + b = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Lời giải
Để hàm số có đạo hàm của hàm số tại điểm x = 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x = 1, tức là \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{f}}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{{\rm{x}}^2} - 1}}{{{\rm{x}} - 1}} = {\rm{a}} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \left( {{\rm{x + 1}}} \right){\rm{ = a}} \Leftrightarrow 2 = {\rm{a}}\]
Khi đó hàm số có dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1}\\{2\,\,khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow {\rm{f'}}\left( {\rm{1}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{\frac{{{{\rm{x}}^2} - 1}}{{{\rm{x}} - 1}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{\rm{x}} + 1 - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = 1\]
Vậy a = 2.
Đáp án cần chọn là: B
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)
-
Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)
-
Bài tập Xác suất ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P1)
-
12 câu Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án
-
38 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Lôgarit có đáp án
-
Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P6)
-
Bài tập Lượng giác lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Khoảng cách có đáp án (Nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận