Cho hàm số \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}\left| {{\rm{x + 1}}} \right|}}{{\rm{x}}}\]. Tính đạo hàm của hàm số tại \[{{\rm{x}}_0} = - 1\].

\[{\rm{f'}}\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \left( { - 1} \right)} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( { - 1} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}}\]

Ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( { - 1} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{\frac{{{x^2} + x + 1}}{x} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{x} = 0\]

\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( { - 1} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{\frac{{{x^2} - x - 1}}{x} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{x - 1}}{x} = 2\]

\[ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( { - 1} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( { - 1} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}}\]

Do đó không tồn tại  \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \left( { - 1} \right)} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( { - 1} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}}\], vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \[{{\rm{x}}_0} = - 1\].

Đáp án cần chọn là: D