Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm tham số \(m\) để hai đường thẳng \({d_1}:3x - 6y + 2024 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = mt\\y = 7 - \left( {m + 1} \right)t\end{array} \right.\) vuông góc với nhau.

Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được gọi như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính theo km). Sau khi xuất phát \(t\) giờ (\(t \ge 0\)) thì vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 35t\\y = - 4 + 25t\end{array} \right.\) còn vị trí của tàu B có tọa độ là \(N\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\). Hỏi khi hai tàu gần nhau nhất thì cách nhau bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Từ một hộp chứa 12 quả cầu trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả.

a) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là \(A_{12}^3\) cách.

b) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là 792 cách.

c) Số cách chọn ra 3 quả cầu chỉ có một màu là 108 cách.

d) Số cách để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu là 139 cách.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i - \overrightarrow j \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow i + \overrightarrow j \), \(C\left( {4;1} \right)\). Khi đó

a) \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {1;1} \right)\).

b) \(\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \).

c) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(\left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\).

d) Tọa độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành là \(\left( {2; - 1} \right)\).

Ban văn nghệ lớp \(10\;A\) có 7 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ để ghép thành 5 cặp nam nữ diễn tiết mục thời trang. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thỏa mãn yêu cầu trên?

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(3; - 5),B(1;0)\).

a) Tìm tọa độ điểm \(C\) sao cho \(\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \).

b) Tìm điểm \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(C\).