Cho đường tròn tâm đường kính Hai dây cung và cắt nhau tại   nằm bên trong đường tròn Vẽ vuông góc với tại  Chứng minh rằng:

Điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

⦁ Vì điểm nằm trên đường tròn đường kính nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó ý a) là đúng. ⦁ Đường tròn là đường tròn ngoại tiếp tam giác Do đó ý b) là sai. ⦁ Khi điểm nằm trên cung nhỏ thì ta có tứ giác là tứ

giác nội tiếp. Suy ra (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp).

Nên Do đó ý c) là sai.

⦁ Xét vuông tại ta có:

Suy ra

Mà đường tròn đi qua các điểm nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp là

Giả sử điểm chia đoạn thẳng thành hai đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán,

Gọi độ dài của   suy ra

Theo đề bài, bạn An chia đoạn thẳng thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn nên ta có hay .

Giải phương trình:

Giải phương trình trên ta được

Ta thấy chỉ có giá trị thỏa mãn điều kiện.

Vậy tỉ số cần tìm là