Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực thỏa mãn \(a + b + c - 21 = 2\left( {\sqrt {a - 7} + \sqrt {b - 8} + \sqrt {c - 9} } \right)\). Giá trị của biểu thức \(S = a + 2b - c\) là 

Đáp án đúng là: B

Với \(a \ge 7,\,\,b \ge 8,\,\,c \ge 9,\) ta có:

\(a + b + c - 21 = 2\left( {\sqrt {a - 7} + \sqrt {b - 8} + \sqrt {c - 9} } \right)\)

\(a + b + c - 21 = 2\sqrt {a - 7} + 2\sqrt {b - 8} + 2\sqrt {c - 9} \)

\(\left( {a - 7 - 2\sqrt {a - 7} + 1} \right) + \left( {b - 8 - 2\sqrt {b - 8} + 1} \right) + \left( {c - 9 - 2\sqrt {c - 9} + 1} \right) = 0\)

\({\left( {\sqrt {a - 7} - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {b - 8} - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {c - 9} - 1} \right)^2} = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Mà \({\left( {\sqrt {a - 7} - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {\sqrt {b - 8} - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {\sqrt {c - 9} - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a \ge 7,\,\,b \ge 8,\,\,c \ge 9.\)

Khi đó từ $\left(*\right)$ suy ra ${\left(\sqrt{\mathrm{a}-7}-1\right)}^2=0,{\left(\sqrt{\mathrm{b}-8}-1\right)}^2=0,{\left(\sqrt{\mathrm{c}-9}-1\right)}^2=0$

Suy ra \[\sqrt {a - 7} - 1 = 0,\,\,\sqrt {b - 8} - 1 = 0,\,\,\sqrt {c - 9} - 1 = 0\]

Do đó \[a - 7 = 1,\,\,b - 8 = 1,\,\,c - 9 = 1\]

Nên \(a = 8,\,\,b = 9,\,\,c = 10\) (thỏa mãn).

Vậy \(S = a + 2b - c = 8 + 2 \cdot 9 - 10 = 16.\)