Câu hỏi:
12/03/2025 347
Câu 37-39: (2,0 điểm) Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AD.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD,\) kẻ \(HK \bot AD\,\,\left( {K \in AD} \right).\)
1) Chứng minh tứ giác \(CDKH\) nội tiếp.
Câu 37-39: (2,0 điểm) Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AD.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD,\) kẻ \(HK \bot AD\,\,\left( {K \in AD} \right).\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AD\) có \[\widehat {ACD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\Delta HCD\) vuông tại \(C.\)
Suy ra ba điểm \(H,\,\,C,\,\,D\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(HD.\)
Ta có \(\widehat {HKD} = 90^\circ \) nên ba điểm \(H,\,\,K,\,\,D\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(HD.\)
Do đó, bốn điểm \(C,\,\,D,\,\,K,\,\,H\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(HD.\)
Vậy tứ giác \(CDKH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(HD.\)Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Gọi \(M\) là giao điểm của \(AB\) và \[CD.\] Chứng minh ba điểm \(M,H,K\) thẳng hàng.
Lời giải của GV VietJack
Vì \(\widehat {HCD} = 90^\circ \) nên \(\widehat {HCM} = 90^\circ ,\) suy ra ba điểm \(H,\,\,C,\,\,M\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(HM.\)
Tương tự, ta có ba điểm \(H,\,\,B,\,\,M\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(HM.\)
Do đó, bốn điểm \(H,\,\,B,\,\,M,\,\,C\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(HM.\)
Như vậy, tứ giác \(HBMC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(HM.\)
Suy ra \(\widehat {MHC} = \widehat {MBC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC).\) (1)
Do tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \[\widehat {CBA} + \widehat {ADC} = 180^\circ \] (tổng hai góc đối nhau)
Tứ giác \(CDKH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(HD\) nên \(\widehat {CHK} + \widehat {KDC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau) hay \[\widehat {CHK} + \widehat {ADC} = 180^\circ \].
Suy ra \[\widehat {CBA} = \widehat {CHK}.\]
Lại có \[\widehat {MBC} + \widehat {CBA} = 180^\circ \] (hai góc kề bù) nên \[\widehat {MBC} + \widehat {CHK} = 180^\circ \] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {MHC} + \widehat {CHK} = 180^\circ \] hay \(\widehat {MHK} = 180^\circ .\)
Do đó ba điểm \(M,\,\,H,\,\,K\) thẳng hàng.
Câu 3:
3) Gọi \(N\) là giao điểm của \(CK\) và \(BD.\) Chứng minh rằng \(BD \cdot HN = DN \cdot HB.\)
Lời giải của GV VietJack
⦁ Tứ giác \(CDKH\) nội tiếp nên \(\widehat {HCK} = \widehat {HDK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK)\)
Tứ giác \(HBMC\) nội tiếp nên \(\widehat {HCB} = \widehat {HMB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BH)\)
Mà \(\widehat {BDA} = \widehat {KMA}\) (cùng phụ với \(\widehat {MAD})\) hay \(\widehat {HDK} = \widehat {HMB}\) nên \(\widehat {HCK} = \widehat {HCB}\)
Suy ra \(CH\) là tia phân giác của \(\widehat {BCK}.\)
Xét \(\Delta BCN\) có \(CH\) là tia phân giác của \(\widehat {BCN}\) nên \(\frac{{HN}}{{HB}} = \frac{{CN}}{{CB}}\) (tính chất tia phân giác). (5)
⦁ Kẻ đường thẳng song song với \(CK,\) cắt \(MD\) tại \(P.\)
Xét \(\Delta BDP\) có \(BP\,{\rm{//}}\,CN\) nên \(\frac{{CN}}{{PB}} = \frac{{DN}}{{DB}}\) (hệ quả định lí Thalès). (3)
Ta có \(\widehat {HCK} + \widehat {KCD} = 90^\circ \) và \(\widehat {HCB} + \widehat {BCP} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat {HCK} = \widehat {HCB}\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {KCD} = \widehat {BCP}.\)
Do \(BP\,{\rm{//}}\,CK\) nên \(\widehat {BPC} = \widehat {KCD}\) (hai góc đồng vị).
Suy ra \(\widehat {BCP} = \widehat {BPC}\) nên \(\Delta BCP\) cân tại \(B.\) Do đó \[BC = BP.\] (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{CN}}{{BC}} = \frac{{DN}}{{DB}}\) (6)
⦁ Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{{HN}}{{HB}} = \frac{{DN}}{{DB}}\) hay \(BD \cdot HN = DN \cdot HB.\)
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: D Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(y = x + 2\) là: \({x^2} = x + 2\) \({x^2} - x - 2 = 0\) \(\left( {{x^2} + x} \right) - \left( {2x + 2} \right) = 0\) |
|
\(x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\)
\(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)
\(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)
\(x = - 1\) hoặc \(x = 2.\)
Thay \(x = - 1\) vào hàm số \(y = {x^2},\) ta được \(y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1.\)
Thay \(x = 2\) vào hàm số \(y = {x^2},\) ta được \(y = {2^2} = 4.\)
Như vậy, đường thẳng \(y = x + 2\) cắt parabol \(y = {x^2}\) tại hai điểm \(A\left( { - 1;\,\,1} \right)\) và \(B\left( {2;\,\,4} \right).\)
Gọi giao điểm của đường thẳng \(y = x + 2\) với trục tung là \(I\left( {0;\,\,2} \right).\) Suy ra \(OI = \left| 2 \right| = 2.\)
Gọi hình chiếu của \(A\left( { - 1;\,\,1} \right),\,\,B\left( {2;\,\,4} \right)\) lên trục tung lần lượt là \(H\left( {0;\,\,1} \right)\) và \(K\left( {0;\,\,4} \right).\)
Suy ra \(AH = \left| { - 1} \right| = 1;\,\,BK = \left| 2 \right| = 2.\)
Ta có: \({S_{\Delta OAI}} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot OI = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\) (đơn vị diện tích);
\[{S_{\Delta OBI}} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot OI = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\] (đơn vị diện tích).
Vậy diện tích của tam giác \(OAB\) là: \({S_{\Delta OAB}} = {S_{\Delta OAI}} + {S_{\Delta OBI}} = 1 + 2 = 3\) (đơn vị diện tích).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh 6 cm là \(\frac{{6 \cdot \sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
50 bài tập Một số yếu tố xác suất có lời giải
-
Đề thi tham khảo môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Hà Nội
-
54 bài tập Hàm số bậc hai và giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải
-
Đề thi minh họa (Dự thảo) TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đồng Nai
-
Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Bình Phước