Câu hỏi:

12/03/2025 368

Câu 40-41: (1,0 điểm)
1) Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P = \frac{{3\left( {b + c} \right)}}{{2a}} + \frac{{4a + 3c}}{{3b}} + \frac{{12\left( {b - c} \right)}}{{2a + 3c}}.\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Chứng minh bổ đề 1: Với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta luôn có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}.\)

Thật vậy, với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta luôn có:

\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)

\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)

\({x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\)

\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)

\(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} \ge \frac{{4xy}}{{xy\left( {x + y} \right)}}\)

\(\frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\)

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y.\) Bất đẳng thức được chứng minh.

Chứng minh bổ đề 2: Với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta luôn có \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2.\)

Thật vậy, với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta luôn có:

\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)

\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)

\({x^2} + {y^2} \ge 2xy\)

\(\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge \frac{{2xy}}{{xy}}\)

\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y.\) Bất đẳng thức được chứng minh.

Với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương, ta có:

\(P = \frac{{3\left( {b + c} \right)}}{{2a}} + \frac{{4a + 3c}}{{3b}} + \frac{{12\left( {b - c} \right)}}{{2a + 3c}}\)

 \( = \frac{{3b}}{{2a}} + \frac{{3c}}{{2a}} + \frac{{4a}}{{3b}} + \frac{{3c}}{{3b}} + \frac{{12\left( {b - c} \right)}}{{2a + 3c}} + 4 - 4\)

 \( = \left( {\frac{{3b}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{3b}}} \right) + \left( {\frac{{2a}}{{3b}} + 1} \right) + \left( {\frac{{3c}}{{2a}} + \frac{{3c}}{{3b}}} \right) + \frac{{12b - 12c + 8a + 12c}}{{2a + 3c}} - 5\)

 \( = \left( {\frac{{3b}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{3b}}} \right) + \left( {\frac{{2a}}{{3b}} + \frac{{2a}}{{2a}}} \right) + \left( {\frac{{3c}}{{2a}} + \frac{{3c}}{{3b}}} \right) + \frac{{4\left( {3b + 2a} \right)}}{{2a + 3c}} - 5\)

 \( = \left( {\frac{{3b}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{3b}}} \right) + 2a\left( {\frac{1}{{3b}} + \frac{1}{{2a}}} \right) + 3c\left( {\frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{3b}}} \right) + \frac{{4\left( {3b + 2a} \right)}}{{2a + 3c}} - 5.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(\frac{{3b}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{3b}} \ge 2\sqrt {\frac{{3b}}{{2a}} \cdot \frac{{2a}}{{3b}}} = 2.\)

Áp dụng bất đẳng thức bổ đề 1 đã chứng minh ở trên, ta có:

\[2a\left( {\frac{1}{{3b}} + \frac{1}{{2a}}} \right) \ge \frac{{2a \cdot 4}}{{2a + 3b}}\]\[3c\left( {\frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{3b}}} \right) \ge \frac{{3c \cdot 4}}{{2a + 3b}}.\]

Do đó \(P = \left( {\frac{{3b}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{3b}}} \right) + 2a\left( {\frac{1}{{3b}} + \frac{1}{{2a}}} \right) + 3c\left( {\frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{3b}}} \right) + \frac{{4\left( {3b + 2a} \right)}}{{2a + 3c}} - 5\)

\[ \ge 2 + \frac{{2a \cdot 4}}{{2a + 3b}} + \frac{{3c \cdot 4}}{{2a + 3b}} + \frac{{4\left( {3b + 2a} \right)}}{{2a + 3c}} - 5\]

\[ \ge 2 + 4\left( {\frac{{2a + 3c}}{{2a + 3b}} + \frac{{2a + 3b}}{{2a + 3c}}} \right) - 5\]

\[ \ge 2 + 4 \cdot 2 - 5\] (áp dụng bất đẳng thức bổ đề 2 đã chứng minh)

\[ = 5.\]

Như vậy, \(P \ge 5.\) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3b}}{{2a}} = \frac{{2a}}{{3b}}\\\frac{1}{{3b}} = \frac{1}{{2a}}\\\frac{1}{{2a}} = \frac{1}{{3b}}\\\frac{{2a + 3c}}{{2a + 3b}} = \frac{{2a + 3b}}{{2a + 3c}}\end{array} \right.\) tức là \(2a = 3b = 3c.\)

Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi \(2a = 3b = 3c.\)

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

2) Người ta vẽ bản quy hoạch của một khu dân cư được bao quanh bởi ba con đường thẳng lập thành một tam giác với độ dài các cạnh là \(900\;{\rm{m}},\,\,1200\;{\rm{m}}\) và 1500 m như hình vẽ. Họ muốn xây dựng một khách sạn bên trong khu dân cư cách đều cả ba con đường. Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng bằng bao nhiêu?
Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng bằng bao nhiêu? (ảnh 1)

Xem lời giải

verified Lời giải của GV VietJack

Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng bằng bao nhiêu? (ảnh 2)

Gọi \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] là ba đỉnh của khu dân cư sao cho \[AB = 900\] m, \[AC = 1{\rm{ }}200\] m và \[BC = 1{\rm{ }}500\] m.

Xét \(\Delta ABC\) có:

\[A{B^2} + A{C^2} = {900^2} + 1{\rm{ }}{200^2} = 2{\rm{ }}250{\rm{ }}000;\]

\[B{C^2} = 1{\rm{ }}{500^2} = 2{\rm{ }}250{\rm{ }}000.\]

Do đó \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2},\]  nên theo định lí Pythagore đảo ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \[A.\]

Gọi \[O\] là vị trí xây dựng khách sạn; \[H,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\] lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \[O\] đến \[AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CA.\]

Vì vị trí xây dựng khách sạn cách đều cả ba con đường nên \[OH = OI = OK.\]

Mặt khác, \({S_{OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot AB;\) \({S_{OBC}} = \frac{1}{2} \cdot OI \cdot BC;\) \({S_{OCA}} = \frac{1}{2} \cdot OK \cdot CA.\)

\({S_{ABC}} = {S_{OAB}} + {S_{OBC}} + {S_{OCA}}\)

Suy ra \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot AB + \frac{1}{2} \cdot OI \cdot BC + \frac{1}{2} \cdot OK \cdot CA\]

Do đó \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot \left( {AB + BC + CA} \right)\]

Nên \(OH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB + BC + CA}}{\rm{.}}\)

Chu vi của phần đất giới hạn bởi tam giác \[ABC\] là:

\[AB + BC + CA = 900 + 1{\rm{ }}500 + 1{\rm{ }}200{\rm{ }} = 3{\rm{ }}600\] (m).

Diện tích của phần đất giới hạn bởi tam giác \[ABC\] là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 900 \cdot 1\,\,200 = 540\,\,000{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Do đó \(OH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB + BC + CA}} = \frac{{2 \cdot 540\,\,000}}{{3\,\,600}} = 300{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng là 300 mét.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giao điểm của parabol \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(y = x + 2\) cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng          

Xem đáp án » 12/03/2025 1,754

Câu 2:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh 6 cm là         

Xem đáp án » 12/03/2025 722

Câu 3:

1) Giải phương trình \((1)\) khi \(m = - 2\).

Xem đáp án » 12/03/2025 628

Câu 4:

Hình nón có chiều cao bằng 12 cm, bán kính đáy bằng 9 cm thì diện tích xung quanh là          

Xem đáp án » 12/03/2025 611

Câu 5:

Bạn Bắc gieo một con xúc xắc 50 lần cho kết quả như sau:

Số chấm xuất hiện

1

2

3

4

5

6

Tần số

8

7

10

8

6

11

Tần số xuất hiện mặt 3 chấm là          

Xem đáp án » 12/03/2025 523

Câu 6:

Bạn Ninh gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần. Số phần tử của không gian mẫu là          

Xem đáp án » 12/03/2025 512

Câu 7:

Trong các phương trình bậc hai sau phương trình nào có tổng hai nghiệm bằng 3?          

Xem đáp án » 12/03/2025 511
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay