Cho tam giác \[ABC\] có \[AM\] là đường trung tuyến. Lấy \[D\] thuộc \[AC\] sao cho \[AD = \frac{1}{2}DC\]. Kẻ \[ME\parallel BD\] \[\left( {E \in DC} \right)\], \[BD\] cắt \[AM\] tại \[I\].

 a) \[AD = DE = EC.\]

Xét tam giác \[AME\] có \[ID\parallel ME\] và \[AD = DE\] nên \[DI\] là đường trung bình của tam giác \[AME.\]

Do đó, \[I\] là trung điểm của cạnh \[AM.\]

Đúng

Xét hai tam giác \[ABI\] và \[\Delta IBM\] có cùng chiều cao hạ từ đỉnh \[B\] xuống đáy \[AM\] và có hai đáy \[AI = AM\].

Do đó, ta có: \[{S_{ABI}} = \frac{1}{2}{h_B}.AI;{\rm{ }}{S_{BMI}} = \frac{1}{2}{h_B}.IM\].

Suy ra \[{S_{AIB}} = {S_{IMB}}.\]

Ta có: \[I\] là trung điểm của cạnh \[AM\] nên chiều cao hạ từ \[A\] xuống đáy \[BC\] bằng 2 lần chiều cao hạ từ \[I\] xuống đáy \[BC\].

Do đó, ta có: \[\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{IBC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_A}.BC}}{{\frac{1}{2}{h_I}.BC}} = 2\] nên \[{S_{ABC}} = 2{S_{IBC}}.\]