Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 67 đến 69

Cho hàm số \[f\left( x \right) = m{x^3} - {{\rm{x}}^2} - 2x + 8m\], với \(m\) là tham số thực.

Với \(m = \frac{4}{3}\), giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,3} \right]\) là:    

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\). Ta có \(f'\left( x \right) = 3m{x^2} - 2x - 2\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1\,;\,5} \right)\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \le 0,\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,5} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3m{x^2} - 2x - 2 \le 0,\,\forall x \in \left( {1\,;5} \right)\)\( \Leftrightarrow m \le \frac{{2x + 2}}{{3{x^2}}},\,\forall x \in \left( {1\,;\,5} \right)\) (*).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{2x + 2}}{{3{x^2}}}\) với \(x \in \left( {1\,;5} \right)\). Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{ - 2\left( {x + 2} \right)}}{{3{x^3}}} < 0,\,\forall x \in \left( {1\,;\,5} \right)\).

Do đó, hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1\,;\,5} \right)\). Suy ra \(\mathop {g\left( x \right)}\limits_{x \in \left( {1\,;5} \right)} > g\left( 5 \right) = \frac{4}{{25}}\).

Khi đó, (*) \( \Leftrightarrow m \le \frac{4}{{25}}\). Chọn A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[m{x^3} - {x^2} - 2x + 8m = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left[ {m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 4m} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 4m = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\].

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác –2. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta = - 12{m^2} + 4m + 1 > 0\\12m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - \frac{1}{6} < m < \frac{1}{2}\\m \ne - \frac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - \frac{1}{6} < m < \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \[m \in \left( { - \frac{1}{6};\frac{1}{2}} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\] thỏa mãn. Chọn C.