Câu 21-22. (1,5 điểm) Trong các hệ thống máy, một dây curoa bao quanh 2 bánh quay là hai đường tròn có tâm ${O_1}$ bán kính 40 cm và tâm ${O_2}$ bán kính 10 cm như hình dưới đây. Gọi $A,\,\,D$ là các điểm trên $\left( {{O_1}} \right)$ và $B,\,\,C$ là các điểm trên $\left( {{O_2}} \right)$ sao cho $AB$ và $CD$ tiếp xúc với đường tròn $\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)$ và chúng cắt nhau tại $M$ tạo thành góc $\widehat {BMC} = 60^\circ .$

 

1) Tính số đo cung lớn  của đường tròn $\left( {{O_1}} \right).$

Vì $MA,\,\,MD$ là các tiếp tuyến của $\left( {{O_1}} \right)$ nên $M{O_1}$ là phân giác của $\widehat {AMD}.$

Suy ra $\widehat {AM{O_1}} = \frac{1}{2}\widehat {AMB} = \frac{1}{2}60^\circ = 30^\circ .$

Do $MA$ là tiếp tuyến của $\left( {{O_1}} \right)$ nên $MA \bot {O_1}A.$

Xét $\Delta MA{O_1}$ vuông tại $A,$ ta có: $\widehat {AM{O_1}} + \widehat {A{O_1}M} = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Suy ra $\widehat {A{O_1}M} = 90^\circ - \widehat {AM{O_1}} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .$

Vì $MA,\,\,MD$ là các tiếp tuyến của $\left( {{O_1}} \right)$ nên ${O_1}M$ là phân giác của $\widehat {A{O_1}D}.$

Suy ra $\widehat {A{O_1}D} = 2\widehat {A{O_1}M} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .$

Do đó số đo cung nhỏ  là

Như vậy, số đo cung lớn  của đường tròn $\left( {{O_1}} \right)$ là

Ta có số đo cung lớn  của đường tròn $\left( {{O_1}} \right)$ là $240^\circ$ nên độ dài cung lớn  của đường tròn $\left( {{O_1}} \right)$ là: ${l_1} = \frac{{\pi \cdot 40 \cdot 240}}{{180}} = \frac{{160\pi }}{3}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$