Câu 21-22. (1,5 điểm) Trong các hệ thống máy, một dây curoa bao quanh 2 bánh quay là hai đường tròn có tâm \({O_1}\) bán kính 40 cm và tâm \({O_2}\) bán kính 10 cm như hình dưới đây. Gọi \(A,\,\,D\) là các điểm trên \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(B,\,\,C\) là các điểm trên \(\left( {{O_2}} \right)\) sao cho \(AB\) và \(CD\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) và chúng cắt nhau tại \(M\) tạo thành góc \(\widehat {BMC} = 60^\circ .\)

 

2) Tính độ dài dây cuaroa.

Tương tự câu 1, trong đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\) ta có:  nên độ dài cung nhỏ  của đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\) là: \({l_2} = \frac{{\pi \cdot 10 \cdot 120}}{{180}} = \frac{{20\pi }}{3}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta M{O_1}A\) và \(\Delta M{O_2}B\) có: \(\widehat {MA{O_1}} = \widehat {MB{O_2}} = 90^\circ \) và \(\widehat {AM{O_1}}\) là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{{O_1}A}}{{{O_2}B}} = \frac{{40}}{{10}} = 4.\)

Nên \(MA = 4MB,\) suy ra \(AB = 3MB.\)

Xét \(\Delta M{O_2}B\) vuông tại\(B,\) ta có:

\(MB = {O_2}B \cdot \cot \widehat {BM{O_2}} = {O_2}B \cdot \cot 30^\circ = 10 \cdot \tan 60^\circ = 10\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Do đó \(AB = 3MB = 3 \cdot 10\sqrt 3 = 30\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Vậy độ dài của dây cua-roa là

\(2AB + {l_1} + {l_2} = 2 \cdot 30\sqrt 3 + \frac{{160\pi }}{3} + \frac{{20\pi }}{3} = 60\left( {\pi + \sqrt 3 } \right){\rm{\;(cm)}}.\)