Câu 21-22. (1,5 điểm) Trong các hệ thống máy, một dây curoa bao quanh 2 bánh quay là hai đường tròn có tâm ${O_1}$ bán kính 40 cm và tâm ${O_2}$ bán kính 10 cm như hình dưới đây. Gọi $A,\,\,D$ là các điểm trên $\left( {{O_1}} \right)$ và $B,\,\,C$ là các điểm trên $\left( {{O_2}} \right)$ sao cho $AB$ và $CD$ tiếp xúc với đường tròn $\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)$ và chúng cắt nhau tại $M$ tạo thành góc $\widehat {BMC} = 60^\circ .$

1) Tính số đo cung lớn của đường tròn $\left( {{O_1}} \right).$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi tham khảo môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì $MA,\,\,MD$ là các tiếp tuyến của $\left( {{O_1}} \right)$ nên $M{O_1}$ là phân giác của $\widehat {AMD}.$

Suy ra $\widehat {AM{O_1}} = \frac{1}{2}\widehat {AMB} = \frac{1}{2}60^\circ = 30^\circ .$

Do $MA$ là tiếp tuyến của $\left( {{O_1}} \right)$ nên $MA \bot {O_1}A.$

Xét $\Delta MA{O_1}$ vuông tại $A,$ ta có: $\widehat {AM{O_1}} + \widehat {A{O_1}M} = 90^\circ $ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Suy ra $\widehat {A{O_1}M} = 90^\circ - \widehat {AM{O_1}} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .$

Vì $MA,\,\,MD$ là các tiếp tuyến của $\left( {{O_1}} \right)$ nên ${O_1}M$ là phân giác của $\widehat {A{O_1}D}.$

Suy ra $\widehat {A{O_1}D} = 2\widehat {A{O_1}M} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .$

Do đó số đo cung nhỏ là

Như vậy, số đo cung lớn của đường tròn $\left( {{O_1}} \right)$ là

Ta có số đo cung lớn của đường tròn $\left( {{O_1}} \right)$ là $240^\circ $ nên độ dài cung lớn của đường tròn $\left( {{O_1}} \right)$ là: ${l_1} = \frac{{\pi \cdot 40 \cdot 240}}{{180}} = \frac{{160\pi }}{3}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

2) Tính độ dài dây cuaroa.

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Tương tự câu 1, trong đường tròn $\left( {{O_2}} \right)$ ta có: nên độ dài cung nhỏ của đường tròn $\left( {{O_2}} \right)$ là: ${l_2} = \frac{{\pi \cdot 10 \cdot 120}}{{180}} = \frac{{20\pi }}{3}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta M{O_1}A$ và $\Delta M{O_2}B$ có: $\widehat {MA{O_1}} = \widehat {MB{O_2}} = 90^\circ $ và $\widehat {AM{O_1}}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{{O_1}A}}{{{O_2}B}} = \frac{{40}}{{10}} = 4.$

Nên $MA = 4MB,$ suy ra $AB = 3MB.$

Xét $\Delta M{O_2}B$ vuông tại$B,$ ta có:

$MB = {O_2}B \cdot \cot \widehat {BM{O_2}} = {O_2}B \cdot \cot 30^\circ = 10 \cdot \tan 60^\circ = 10\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Do đó $AB = 3MB = 3 \cdot 10\sqrt 3 = 30\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy độ dài của dây cua-roa là

$2AB + {l_1} + {l_2} = 2 \cdot 30\sqrt 3 + \frac{{160\pi }}{3} + \frac{{20\pi }}{3} = 60\left( {\pi + \sqrt 3 } \right){\rm{\;(cm)}}.$

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ một vòng quanh cạnh $AB$ ta được một hình trụ có bán kính đáy bằng độ dài đoạn thẳng nào đưới đây?

A. $AD$.

B. $AC$.

C. $CD$.

D. $AB$.

Lời giải

$Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ một vòng quanh cạnh $AB$ ta được một hình trụ có bán kính đáy bằng độ dài đoạn thẳng nào đưới đây? A. $AD$. B. $AC$. C. $CD$. D. $AB$. (ảnh 1)$