Chứng minh rằng: Nếu x3 – y3 chia hết cho 3 thì x3 – y3 chia hết cho 9.

Lời giải: x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y) Ta thấy: x3 – y3 ⋮ 3 và 3xy(x – y) ⋮ 3 nên (x – y)3 ⋮ 3 Suy ra: x – y ⋮ 3 (1) hay x ≡ y(mod3) Lại có: x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) (*) · Xét: x2 + xy + y2 Mỗi số nguyên x có thể có một trong ba dạng sau khi chia cho 3: x ≡ 0, 1, hoặc 2(mod3) Tương tự, y cũng có thể chia 3 dư 0, 1, 2 Vì ở trên ta đã có x ≡ y(mod3) Nên ta xét 3 trường hợp: + TH1: x, y ≡ 0 (mod3) tức: x, y ⋮ 3 ⇒ x2 + xy + y2 ⋮ 3 + TH2: x, y ≡ 1 (mod3) ⇒ x2 ≡ 1 (mod3); y2 ≡ 1 (mod3); xy ≡ 1 (mod3) ⇒ x2 + xy + y2 ≡ 3 (mod3) tức x2 + xy + y2 ⋮ 3 + TH3: x, y ≡ 2 (mod3) ⇒ x2 ≡ 1 (mod3); y2 ≡ 1 (mod3); xy ≡ 1 (mod3) ⇒ x2 + xy + y2 ≡ 3 (mod3) tức x2 + xy + y2 ⋮ 3 Vậy với x ≡ y(mod3) thì x2 + xy + y2 ⋮ 3 (2) Từ (1) và (2) kết hợp với (*) ta có: ( left { begin{array}{l}x - y vdots 3 {x^2} + xy + {y^2} vdots 3 end{array} right. ) ⇒ (x – y)(x2 + xy + y2) ⋮ 9 Vậy nếu x3 – y3 chia hết cho 3 thì x3 – y3 chia hết cho 9.

Câu hỏi:

09/05/2025 87

Chứng minh rằng: Nếu x³ – y³ chia hết cho 3 thì x³ – y³ chia hết cho 9.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy(x – y)

Ta thấy: x³ – y³ ⋮ 3 và 3xy(x – y) ⋮ 3 nên (x – y)³ ⋮ 3

Suy ra: x – y ⋮ 3 (1) hay x ≡ y(mod3)

Lại có: x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²) (*)

· Xét: x² + xy + y²

Mỗi số nguyên x có thể có một trong ba dạng sau khi chia cho 3:

x ≡ 0, 1, hoặc 2(mod3)

Tương tự, y cũng có thể chia 3 dư 0, 1, 2

Vì ở trên ta đã có x ≡ y(mod3)

Nên ta xét 3 trường hợp:

+ TH1: x, y ≡ 0 (mod3) tức: x, y ⋮ 3 ⇒ x² + xy + y² ⋮ 3

+ TH2: x, y ≡ 1 (mod3) ⇒ x² ≡ 1 (mod3); y² ≡ 1 (mod3); xy ≡ 1 (mod3)

⇒ x² + xy + y² ≡ 3 (mod3) tức x² + xy + y² ⋮ 3

+ TH3: x, y ≡ 2 (mod3) ⇒ x² ≡ 1 (mod3); y² ≡ 1 (mod3); xy ≡ 1 (mod3)

⇒ x² + xy + y² ≡ 3 (mod3) tức x² + xy + y² ⋮ 3

Vậy với x ≡ y(mod3) thì x² + xy + y² ⋮ 3 (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với (*) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y \vdots 3\\{x^2} + xy + {y^2} \vdots 3\end{array} \right.\) ⇒ (x – y)(x² + xy + y²) ⋮ 9

Vậy nếu x³ – y³ chia hết cho 3 thì x³ – y³ chia hết cho 9.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cách đổi đơn vị vận tốc từ km/h sang m/s.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải.

Đổi từ km/h sang m/s:

- Tỷ lệ chuyển đổi: 1 km/h = 0,2778 m/s

- Để đổi từ km/h sang m/s, ta nhân tốc độ ban đầu (km/h) cho 0,2778.

Câu 2

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) = \(\overrightarrow b \) = 1 và \(\overrightarrow a \).\(\overrightarrow b \)= 3. Độ dài vec tơ \(\left| {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right| = \)?

A.\(5\sqrt 5 \)

B.\(\sqrt {124} \)

C. 8

D. 124

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải.

\(\left( {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right) = 9{\overrightarrow a ^2} + 30\overrightarrow a \overrightarrow b + 25{\overrightarrow b ^2}\)

= \(9{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 30\overrightarrow a \overrightarrow b + 25{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)

= 9.1 + 30.3 + 25.1

= 124

Suy ra \(\left| {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right| = \sqrt {124} \)

Đáp án đúng là: B

Câu 3