Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2^a + 10a + b) = 225

Lời giải:

G = x² – x + 2y² – 4y + 3

G = \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\forall x,y\)

Vậy GTNN của G là \(\frac{3}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\end{array} \right.\)

Lời giải:

Vì ƯCLN(a,b) = 10, suy ra : a = 10x ;  b = 10y 

(với x < y và ƯCLN(x,y) = 1)                                                        

Ta có : a.b = 10x . 10y = 100xy (1)

Mặt khác: a.b = ƯCLN(a,b). BCNN(a,b)

 a.b = 10 . 900 = 9000 (2)                                         

Từ (1) và (2), suy ra: xy = 90

Ta có các trường hợp sau:

 Từ đó suy ra a và b có các trường hợp sau:

Vậy (a;b) ∈ {(10;900), (20;450), (30;300), (50;180), (90;100)}