Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC có độ dài ba đường trung tuyến 15,18, 27.

Lời giải:

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c

Giả sử m_a = 15; m_b = 18; m_c = 27

Theo công thức trung tuyến:

\({m_a} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\); \({m_b} = \frac{{2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}}}{4}\); \({m_c} = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}\)

Cộng vế theo vế các đẳng thức ta được:

\(\frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{4} = {m_a} + {m_b} + {m_c} = 15 + 18 + 27 = 60\)

Suy ra: a² + b² + c² = 80

⇒ b² + c² = 80 – a²

Thay vào \(15 = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\) ta được:

\(15 = \frac{{2\left( {80 - {a^2}} \right) - {a^2}}}{4} \Rightarrow a = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\)

Suy ra: \(b = \frac{{2\sqrt {66} }}{3};c = \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\)