Tìm GTLN của biểu thức \[B = \frac{{4{x^2}--6x + 1}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\]

Lời giải:

Đặt 2x – 1 = a nên \(x = \frac{{a + 1}}{2}\)

⇒ \(B = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} - 3\left( {a + 1} \right) + 1}}{{{a^2}}} = \frac{{{a^2} - a - 1}}{{{a^2}}}\)

\(B = 1 - \frac{1}{a} - \frac{1}{{{a^2}}}\)

\(B = - \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + 2.\frac{1}{a}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{5}{4} = - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4}\)

Vì \( - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0,\forall a\) suy ra: \( - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4} \le \frac{5}{4}\)

Vậy max B = \(\frac{5}{4}\) khi a = -2 hay \(x = - \frac{1}{2}\)