Tìm tất cả các số nguyên dương n để 1 + n2017 + n2018 là số nguyên tố

Lời giải: Đặt A = 1 + n2017 + n2018 Với n = 1 ⇒ A = 3 là số nguyên tố (chọn) Với n > 1 ta có: A = 1 + n2017 + n2018 = n2018 – n2 + n2017 – n + (n2 + n + 1) = n2(n2016 – 1) + n(n2016 – 1) + (n2 + n + 1) = (n2016 – 1)(n2 + n) + (n2 + n + 1) Mà : n2016−1 = (n3)672 – 1 = (n3 − 1)[(n3)671 + (n3)670 + ... + n3 + 1] ⋮ n3 − 1 ⇒ (n2016−1) ⋮ (n2 + n + 1) ⇒A ⋮ (n2 + n + 1) Ta lại có : 1 < (n2 + n + 1) < Anên A là số nguyên tố Vậy n = 1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài

Câu hỏi:

19/08/2025 59

Tìm tất cả các số nguyên dương n để 1 + n²⁰¹⁷ + n²⁰¹⁸là số nguyên tố

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Đặt A = 1 + n²⁰¹⁷ + n²⁰¹⁸

Với n = 1 ⇒ A = 3 là số nguyên tố (chọn)

Với n > 1 ta có:

A = 1 + n²⁰¹⁷ + n²⁰¹⁸

= n²⁰¹⁸ – n² + n²⁰¹⁷ – n + (n² + n + 1)

= n²(n²⁰¹⁶ – 1) + n(n²⁰¹⁶ – 1) + (n² + n + 1)

= (n²⁰¹⁶ – 1)(n² + n) + (n² + n + 1)

Mà : n²⁰¹⁶−1 = (n³)⁶⁷² – 1 = (n³ − 1)[(n³)⁶⁷¹ + (n³)⁶⁷⁰ + ... + n³ + 1] ⋮ n³ − 1

⇒ (n²⁰¹⁶−1) ⋮ (n² + n + 1)

⇒A ⋮ (n² + n + 1)

Ta lại có : 1 < (n² + n + 1) < Anên A là số nguyên tố

Vậy n = 1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm các ước lớn hơn 10 của 115

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Các ước của 115 là 1;5; 23; 115.

Nên các ước lớn hơn 10 của 115 là 23; 115.

Câu 2

Tìm GTNN của G = x² – x + 2y² – 4y + 3

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

G = x² – x + 2y² – 4y + 3

G = \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\forall x,y\)

Vậy GTNN của G là \(\frac{3}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\end{array} \right.\)

Câu 3