Gọi \(M,{\rm{ }}m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x - 4\sin x + 5\). Tính \(P = M - 2{m^2}.\)

Ta có $\cos 5x=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\iff \left[\begin{array}{l}5x=x+\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 5x=-x-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}4x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 6x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{2}\\ x=-\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

+ Với nghiệm \(x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2}\) ta có: \( - 2024 \le \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2} \le 2024 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1288,6 \le k \le 1288,4\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\).

Suy ra có 2577 nghiệm thoả mãn.

+ Với nghiệm \(x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{3}\) ta có: \( - 2024 \le - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{3} \le 2024 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1932,7 \le k \le 1932,9\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\).

Suy ra có 3865 nghiệm thoả mãn.

Vậy có 6442 nghiệm thoả mãn.

Đáp án: 6442.

Độ dài một bánh xe là \(2\pi .0,4\,\, = \,\,0,8\pi \) (m).

Số vòng quay của bánh xe đạp khi đi hết đoạn dây dài \(30\,\,{\rm{m}}\) là \(\frac{{30}}{{0,8\pi }}\) .

Khi đó bán kính xe đạp quét một góc lượng giác có số đo là \(\frac{{30}}{{0,8\pi }}.\,2\pi \,\, = \,\,75\,\,\,{\rm{rad}}\).

Đáp án: 75.