Thành phố \[X\] theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực \[A\] và \[B\] trong thời gian 6 năm (kể từ đầu năm 2019 đến hết năm 2024). Hình vẽ dưới đây mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai tỉnh trên trong 6 năm, với đơn vị trên trục \[Ot\] tính bằng năm, \[t = 0\] ứng với mốc từ đầu năm 2019. Đơn vị trên trục\[\;Oy\] biểu diễn ngàn người tăng thêm mỗi năm.

Khu vực \[A\] có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm \[{P'_A}\left( t \right) =  - \frac{1}{2}{t^2} + 2t + 8\].

Khu vực \[B\] có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm \[{P'_B}\left( t \right) = a - \frac{1}{2}t\].

Biết rằng \[{P_A}\left( t \right)\,,\,{P_B}\left( t \right)\] lần lượt biểu diễn tổng số dân tăng thêm tại khu vực \[A\] và \[B\] sau \[t\] năm.

                       

a) Tốc độ gia tăng dân số của khu vực \[A\] với \[t = 4\] là 8 000.

Thống kê thời gian tự học môn Toán của 400 học sinh lớp 12 trong một ngày ta được kết quả trong bảng ghép nhóm sau:

Biết rằng \[x,y\] là các số nguyên dương và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng \[\frac{{845}}{{21}}\]. Khi đó, thời gian tự học trung bình của 400 học sinh (tính theo mẫu số liệu ghép nhóm trên) là bao nhiêu phút?

Chạy Marathon là môn thể thao chạy bộ đường dài mà tại đó, người chơi sẽ hoàn thành quãng đường 42,195 km trong khoảng thời gian nhất định. “FM sub 4” là một thuật ngữ phổ biến trong cộng đồng những người tham gia chạy Marathon, nó dùng để chỉ thành tích hoàn thành quãng đường 42,195 km dưới 4 giờ. Trong một câu lạc bộ Marathon, tỉ lệ thành viên nam là 72%, tỉ lệ thành viên nữ là 28%. Đối với nam, tỉ lệ người hoàn thành FM sub 4 là 32%; đối với nữ, tỉ lệ người hoàn thành FM sub 4 là 3%. Chọn ngẫu nhiên một người từ câu lạc bộ đó. Xác suất để người được chọn là nam bằng bao nhiêu (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm), biết rằng người được chọn đã hoàn thành FM sub 4?

Nhằm thu hút du khách và khẳng định vị thế dẫn đầu, công viên nước Đầm Sen quyết định đầu tư xây dựng một đường trượt nước độc đáo có mặt cắt được gắn vào hệ trục \(Oxy\) (xem trục \(Ox\) là mặt đất) với đơn vị mỗi trục là \(1\,{\rm{m}}\) như hình vẽ dưới đây. Đường trượt được thiết kế theo hình dạng của một hàm bậc ba \(y = g\left( x \right)\), với mục tiêu tối ưu hóa trải nghiệm của người dùng , một phần đường trượt được đặt dưới mặt đất để tận dụng địa hình và tạo hiệu ứng bất ngờ. Điểm đầu của đường trượt là \(H\left( { - 3;a} \right)\) và điểm cuối là \(K\left( {8;0} \right)\) và ngay dưới điểm \(K\) là một bể bơi. Để tiếp cận đường trượt, một cầu thang cong có dạng parabol \(y = f\left( x \right)\) có đỉnh là điểm \(M\left( { - 8;0} \right)\) được xây dựng, đảm bảo độ dốc vừa phải và an toàn cho người sử dụng.

Các diện tích hình phẳng được tạo bởi các đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = - 3\) và trục hoành như hình vẽ. Để đảm bảo an toàn tuyệt đối cho người chơi và tính ổn định của công trình, các kỹ sư cần đặc biệt chú trọng đến phần đường trượt nằm dưới lòng đất. Hãy xác định độ cao lớn nhất mà đường trượt chìm xuống so với mặt đất (đơn vị: mét) biết rằng \({S_1} + {S_3} = {S_2} + {S_4} + \frac{{109}}{{12}}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là khoảng \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)\).