Thành phố \[X\] theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực \[A\] và \[B\] trong thời gian 6 năm (kể từ đầu năm 2019 đến hết năm 2024). Hình vẽ dưới đây mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai tỉnh trên trong 6 năm, với đơn vị trên trục \[Ot\] tính bằng năm, \[t = 0\] ứng với mốc từ đầu năm 2019. Đơn vị trên trục\[\;Oy\] biểu diễn ngàn người tăng thêm mỗi năm.

Khu vực \[A\] có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm \[{P'_A}\left( t \right) =  - \frac{1}{2}{t^2} + 2t + 8\].

Khu vực \[B\] có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm \[{P'_B}\left( t \right) = a - \frac{1}{2}t\].

Biết rằng \[{P_A}\left( t \right)\,,\,{P_B}\left( t \right)\] lần lượt biểu diễn tổng số dân tăng thêm tại khu vực \[A\] và \[B\] sau \[t\] năm.

                       

a) Tốc độ gia tăng dân số của khu vực \[A\] với \[t = 4\] là 8 000.

Đáp án: 48,5.

Ta có \[x + 120 + y + 70 + 60 = 400 \Leftrightarrow x + y = 150\].

Nhận thấy \[{Q_3}\] thuộc nhóm \[\left[ {60;80} \right)\].

\[{Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{400 \cdot 3}}{4} - \left( {x + 120 + y} \right)}}{{70}} \cdot 20 = 60 + \frac{{300 - 270}}{{70}} \cdot 20 = \frac{{480}}{7}\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,x + y = 150} \right)\]

\[{Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}} \Leftrightarrow {Q_1} = {Q_3} - \frac{{845}}{{21}} \Leftrightarrow {Q_1} = \frac{{85}}{3}\].

Suy ra \[{Q_1}\] thuộc nhóm \[\left[ {20;40} \right)\].

\[{Q_1} = 20 + \frac{{100 - x}}{{120}} \cdot 20 \Leftrightarrow \frac{{85}}{3} = 20 + \frac{{100 - x}}{6} \Leftrightarrow x = 50 \Rightarrow y = 100\].

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm ta có bảng sau

Vậy thời gian học trung bình của các học sinh trong nhóm là

\[\frac{{50 \cdot 10 + 120 \cdot 30 + 100 \cdot 50 + 70 \cdot 70 + 60 \cdot 90}}{{400}} = 48,5\].

Đáp án: 0,96.

Gọi \[A\] là biến cố: “chọn được thành viên nam”.

Gọi \[B\] là biến cố: “chọn được thành viên đã hoàn thành FM sub 4”.

Ta có \[P\left( A \right) = 0,72;\,\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0,28;\,\,\,P\left( {B|A} \right) = 0,32;\,\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,03\].

Xác suất để chọn được người nam trong câu lạc bộ biết người đó đã hoàn thành FM 4 là:

\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}} = \]\[\frac{{0,32 \cdot 0,72}}{{0,32 \cdot 0,72 + 0,28 \cdot 0,03}} = \frac{{192}}{{199}} \approx 0,96\].