Một công ty vận tải cần giao hàng đến tất cả các thành phố \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) (hình vẽ). Chi phí di chuyển giữa các thành phố được mô tả trên hình (tính theo đơn vị nghìn đồng). Xe giao hàng của công ty xuất phát từ thành phố \(A\) đi qua tất cả các thành phố còn lại đúng một lần sau đó trở lại thành phố \(A\). Tìm chi phí thấp nhất của xe giao hàng (tính theo đơn vị nghìn đồng)?

Đáp án: 50.

Ta có giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(p\left( x \right) = 90 - 0,01{x^2}\) (triệu đồng).

Nên bán \(x\) tấn sản phẩm thu được \(\left( {90 - 0,01{x^2}} \right)x\) (triệu đồng). Điều kiện \(0 < x \le 100\).

Lợi nhuận hàng tháng của nhà máy \(A\) khi sản xuất và bán \(x\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) là:

\(L\left( x \right) = \left( {90 - 0,01{x^2}} \right)x \cdot 90\%  - \frac{1}{2}\left( {200 + 27x} \right)\) (triệu đồng).

Hay \(L\left( x \right) =  - 0,009{x^3} + 67,5x - 100\).

Xét hàm số \(L\left( x \right) =  - 0,009{x^3} + 67,5x - 100\) trên nửa khoảng \(\left( {0;100} \right]\):

\(L'\left( x \right) =  - 0,027{x^2} + 67,5\);

\(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 0,027{x^2} + 67,5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2500 \Rightarrow x = 50\).

Bảng biến thiên:

Như vậy nhà máy \(A\) cần sản xuất và bán \(50\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) mỗi tháng để thu được lợi nhuận cao nhất.

Đáp án: 5196.

Gọi độ dài 3 cạnh \[AB,AD,AA'\] lần lượt là \[x,y,z\].

Thể tích của khối \[ABCD.A'B'C'D'\] là: \[V = xyz\].

Kẻ \(AK \bot BD\,\,\left( {K \in BD} \right)\), \(AH \bot A'K\,\,\left( {H \in A'K} \right)\). Ta chứng minh được \(AH \bot \left( {A'BD} \right)\).

Khoảng cách từ\[A\] tới mặt phẳng \[\left( {A'BD} \right)\] bằng \[AH = 10\] nên ta có:

\[\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{{A'}^2}}} = \frac{1}{{{{10}^2}}}\] hay \[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{1}{{100}}\].

Ta cần tìm GTNN của biểu thức \[V = xyz\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm \[\frac{1}{{{x^2}}}\], \[\frac{1}{{{y^2}}}\], \[\frac{1}{{{z^2}}}\] ta được:

\[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} \cdot \frac{1}{{{y^2}}} \cdot \frac{1}{{{z^2}}}}}\]\[ \Rightarrow \frac{1}{{100}} \ge 3 \cdot \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2} \cdot {y^2} \cdot {z^2}}}}}\]\[ \Rightarrow x \cdot y \cdot z \ge \sqrt {{{300}^3}} \approx 5196\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[x = y = z = 10\sqrt 3 \] (TM).

Vậy thể tích nhỏ nhất của khối hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] là 5196 (đơn vị thể tích).