Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):y = \left( {\sqrt {3m + 4} - \frac{7}{4}} \right){x^2}\) và đường thẳng (d): y = 3x – 5. Biết đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại một điểm có tung độ bằng 1. Hoành độ giao điểm còn lại của đường thẳng (d) và parabol (P) là

Đáp án đúng là: D

Điều kiện \(m \ge - \frac{4}{3}\) và \(m \ne - \frac{5}{{16}}.\)

Thay y = 1 vào hàm số y = 3x – 5, ta được: y = 3.1 – 5 = –2.

Như vậy, parabol (P) cắt đường thẳng (d): y = 3x – 5 tại điểm có tọa độ (2; 1).

Thay x = 2, y = 1 vào hàm số \(y = \left( {\sqrt {3m + 4} - \frac{7}{4}} \right){x^2},\) ta được:

\(1 = \left( {\sqrt {3m + 4} - \frac{7}{4}} \right) \cdot {2^2}\)

\(1 = \left( {\sqrt {3m + 4} - \frac{7}{4}} \right) \cdot 4\)

\(\sqrt {3m + 4} - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}\)

\(\sqrt {3m + 4} = 2\)

3m + 4 = 4

3m = 0

m = 0 (thỏa mãn).

Khi đó, ta có \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}.\)

Gọi (x₀; y₀) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).

Khi đó ta có y₀ = 3x₀ – 5 và \({y_0} = \frac{1}{4}x_0^2.\)

Suy ra \(\frac{1}{4}x_0^2 = 3{x_0} - 5\) hay \(x_0^2 - 12{x_0} + 20 = 0\).

Giải phương trình:

\(x_0^2 - 12{x_0} + 20 = 0\)

\(x_0^2 - 2{x_0} - 10{x_0} + 20 = 0\)

x₀(x₀ – 2) – 10(x₀ – 2) = 0

(x₀ – 2)(x₀ – 10) = 0

x₀ – 2 = 0 hoặc x₀ – 10 = 0

x₀ = 2 hoặc x₀ = 10.

Vậy hoành độ giao điểm còn lại của đường thẳng (d) và parabol (P) là 10.