Câu hỏi:
26/05/2025 42Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 2m – 1. Với giá trị nào của tham số m thì (d) cắt (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
– Ta chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.
+ Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0.
Xét ∆ = b2 – 4ac.
Do ac < 0 nên – 4ac > 0
Lại có b2 ≥ 0 nên ∆ > 0.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)
Ta có: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}\)
\( = \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}\)
\( = \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.\)
Vì ac < 0 nên hai số a và c trái dấu nhau, do đó \(\frac{c}{a} < 0.\)
Suy ra tích hai nghiệm của phương trình đã cho trái dấu nhau.
Như vậy, nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0 thì phương trình này có hai nghiệm trái dấu.
+ Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 trái dấu.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ = b2 – 4ac > 0.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)
Ta có: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}\)
\( = \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}\)
\( = \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.\)
Vì hai nghiệm x1, x2 trái dấu nên \(\frac{c}{a} < 0,\) suy ra hai số a và c trái dấu nhau, do đó ac < 0.
Như vậy, nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu thì phương trình này có ac < 0.
Vậy, phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.
– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = x2 và y = mx + 2m – 1.
Suy ra x2 = mx + 2m – 1 hay x2 – mx – 2m + 1 = 0. (*)
Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung, tức hoành độ của hai điểm A, B trái dấu nhau, thì phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu, tức là ac < 0, hay 1.(–2m + 1) < 0, suy ra – 2m < –1, do đó \(m > \frac{1}{2}.\)
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 3x + m2 + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án »
26/05/2025
58
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = –m2 – 4m + 5. Số giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt là
Xem đáp án »
26/05/2025
57
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = –3x2 và đường thẳng y = (m + 1)x + 1. Số giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) là
Xem đáp án »
26/05/2025
44
Câu 4:
Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (d): y = mx – m + 2 tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2?
Xem đáp án »
26/05/2025
30
Câu 5:
Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d): y = –m và (P): y = 4x2 có điểm chung?
Xem đáp án »
26/05/2025
18
Câu 6:
Điều kiện của tham số m và n để parabol (P): y = x2 không có điểm chung với đường thẳng là (d): y = mx + n là
Xem đáp án »
26/05/2025
18
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
-
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận