Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 2m – 1. Với giá trị nào của tham số m thì (d) cắt (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung?
A. \(m < \frac{1}{2}.\)
>B. \(m \le \frac{1}{2}.\)
C. \(m > \frac{1}{2}.\)
D. \(m \ge \frac{1}{2}.\)
Quảng cáo
Trả lời:

Đáp án đúng là: C
– Ta chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.
+ Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0.
Xét ∆ = b2 – 4ac.
Do ac < 0 nên – 4ac > 0>
Lại có b2 ≥ 0 nên ∆ > 0.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)
Ta có: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}\)
\( = \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}\)
\( = \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.\)
Vì ac < 0 nên hai số a và c trái dấu nhau, do đó \(\frac{c}{a} < 0.\)
Suy ra tích hai nghiệm của phương trình đã cho trái dấu nhau.
Như vậy, nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0 thì phương trình này có hai nghiệm trái dấu.
+ Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 trái dấu.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ = b2 – 4ac > 0.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)
Ta có: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}\)
\( = \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}\)
\( = \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.\)
Vì hai nghiệm x1, x2 trái dấu nên \(\frac{c}{a} < 0,\) suy ra hai số a và c trái dấu nhau, do đó ac < 0.
Như vậy, nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu thì phương trình này có ac < 0.
Vậy, phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.
– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = x2 và y = mx + 2m – 1.
Suy ra x2 = mx + 2m – 1 hay x2 – mx – 2m + 1 = 0. (*)
Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung, tức hoành độ của hai điểm A, B trái dấu nhau, thì phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu, tức là ac < 0, hay 1.(–2m + 1) < 0, suy ra – 2m < –1, do đó \(m > \frac{1}{2}.\)>
>>>>>>>Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = x2 và y = –m2 – 4m + 5.
Suy ra x2 = –m2 – 4m + 5. (*)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, do đó –m2 – 4m + 5 > 0 hay m2 + 4m – 5 < 0.
Giải bất phương trình:
m2 + 4m – 5 < 0
m2 – m + 5m – 5 < 0
m(m – 1) + 5(m – 1) < 0
(m – 1)(m + 5) < 0.
Từ bất phương trình trên ta suy ra được m – 1 và m + 5 là hai số trái dấu nhau.
Mà với mọi m ta luôn có m – 1 < m + 5.
Do đó m – 1 là số âm và m + 5 là số dương.
Tức là m – 1 < 0 và m + 5 > 0>
Suy ra m < 1 và m > –5>
Hay –5 < m < 1.
Theo bài, m có giá trị nguyên nên m ∈ {–4; –3; –2; –1; 0}.
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
>>>>>>>Câu 2
Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (d): y = mx – m + 2 tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2?
A. m = 1.
B. m = 2.
C. m = –2.
D. m = 4.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:
y = 2x2 và y = mx – m + 2
Suy ra 2x2 = mx – m + 2 hay 2x2 – mx + m – 2 = 0. (*)
Phương trình (*) có: ∆ = (–m)2 – 4.2.(m – 2) = m2 – 8m + 16 = (m – 4)2.
Để đường thẳng (d) tiếp xúc parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆ = 0, hay (m – 4)2 > 0, suy ra m – 4 = 0 nên m = 4.
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 3
A. (d) và (P) không có điểm chung với mọi m.
B. (d) tiếp xúc với (P) với mọi m.
C. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
D. Không xác định được vị trí tương đối của (d) và (P).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. m < 0.
>B. m > 0.
C. m ≤ 0.
D. m ≥ 0.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.