Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng (d): \[y = mx + {m^2} - \frac{1}{2}.\] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) có điểm chung với parabol (P)?

Đáp án đúng là: C

– Ta chứng minh phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.

+ Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0.

Xét ∆ = b² – 4ac.

Do ac < 0 nên – 4ac > 0

Lại có b² ≥ 0 nên ∆ > 0.

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)

Ta có: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}\)

\( = \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}\)

\( = \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.\)

Vì ac < 0 nên hai số a và c trái dấu nhau, do đó \(\frac{c}{a} < 0.\)

Suy ra tích hai nghiệm của phương trình đã cho trái dấu nhau.

Như vậy, nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0 thì phương trình này có hai nghiệm trái dấu.

+ Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ = b² – 4ac > 0.

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)

Ta có: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}\)

\( = \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}\)

\( = \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.\)

Vì hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu nên \(\frac{c}{a} < 0,\) suy ra hai số a và c trái dấu nhau, do đó ac < 0.

Như vậy, nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu thì phương trình này có ac < 0.

Vậy, phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x² và y = mx + 2m – 1.

Suy ra x² = mx + 2m – 1 hay x² – mx – 2m + 1 = 0. (*)

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung, tức hoành độ của hai điểm A, B trái dấu nhau, thì phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu, tức là ac < 0, hay 1.(–2m + 1) < 0, suy ra – 2m < –1, do đó \(m > \frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = 2x² và y = mx – m + 2

Suy ra 2x² = mx – m + 2 hay 2x² – mx + m – 2 = 0. (*)

Phương trình (*) có: ∆ = (–m)² – 4.2.(m – 2) = m² – 8m + 16 = (m – 4)².

Để đường thẳng (d) tiếp xúc parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆ = 0, hay (m – 4)² > 0, suy ra m – 4 = 0 nên m = 4.

Vậy ta chọn phương án D.