Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng (d): \[y = mx + {m^2} - \frac{1}{2}.\] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) có điểm chung với parabol (P)?

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x² và y = –m² – 4m + 5.

Suy ra x² = –m² – 4m + 5. (*)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, do đó –m² – 4m + 5 > 0 hay m² + 4m – 5 < 0.

Giải bất phương trình:

m² + 4m – 5 < 0

m² – m + 5m – 5 < 0

m(m – 1) + 5(m – 1) < 0

(m – 1)(m + 5) < 0.

Từ bất phương trình trên ta suy ra được m – 1 và m + 5 là hai số trái dấu nhau.

Mà với mọi m ta luôn có m – 1 < m + 5.

Do đó m – 1 là số âm và m + 5 là số dương.

Tức là m – 1 < 0 và m + 5 > 0

Suy ra m < 1 và m > –5

Hay –5 < m < 1.

Theo bài, m có giá trị nguyên nên m ∈ {–4; –3; –2; –1; 0}.

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x² và y = 3x + m² + 1.

Suy ra x² = 3x + m² + 1 hay x² – 3x – m² – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–3)² – 4.1.(–m² – 1) = 9 + 4m² + 4 = 4m² + 13.

Với mọi m ta luôn có m² ≥ 0, nên 4m² + 13 ≥ 13 > 0 hay ∆ > 0.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.