Người ta dùng thuốc để khử khuẩn cho một thùng nước. Biết rằng nếu lúc đầu mỗi mililít nước chứa P0 vi khuẩn thì sau t giờ (kể từ khi cho thuốc vào thùng), số lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước là P = P0.10-αt với α là một hằng số dương nào đó. Biết rằng ban đầu mỗi mililít nước có 4000 vi khuẩn và sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước là 1000.

a) α nằm trong khoảng (1; 2).

b) Sau 3 giờ 30 phút thì lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước ít hơn 500.

c) Lượng vi khuẩn mất đi trong mỗi mililít trong khoảng thời gian từ 1 giờ đến 2,5 giờ tính từ lúc dùng thuốc thì lớn hơn 1200.

d) Lượng vi khuẩn sau khoảng 1,32 giờ sẽ bằng 40% lượng vi khuẩn ban đầu.

a) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}}\) \( \Rightarrow 1000 = {4000.10^{ - 2\alpha }}\) \( \Rightarrow \alpha = - \frac{1}{2}\log \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\log 4 \approx 0,31 \notin \left( {1;2} \right)\).

b) Ta có \(P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {4000.10^{ - \alpha t}} < 500\)\( \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} < \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow - \alpha t < \log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t > - \frac{1}{\alpha }\log \frac{1}{8}\)

\( \Leftrightarrow t > - \frac{1}{{\frac{1}{2}\log 4}}\log \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow t > 3\).

c) Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 1 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.1}} = 2000\).

Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 2,5 giờ là \({4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.2,5}} \approx 707\).

Lượng vi khuẩn mất đi khoảng 2000 – 707 = 1293 > 1200.

d) Ta có \[P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} = \frac{{40}}{{100}}.{P_0}\]\[ \Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} = \frac{2}{5}\]\[ \Leftrightarrow t = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \alpha }} = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \frac{1}{2}\log 4}} \approx 1,32\].

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.