Giá trị \(m\) để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 2m - 1}}{{x + m}}\) đi qua điểm \(M\left( {3\,;\,1} \right)\) là     

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( {3\,;\,1} \right)\) nên đồ thị hàm có tiệm cận đứng là \(x = 3\). Suy ra \(x + m = 0\) có nghiệm là \(3\), do vậy \(3 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\).

Thử lại, với \(m =  - 3 \Rightarrow y = \frac{{2x - 7}}{{x - 3}}\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x - 7}}{{x - 3}} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x - 7}}{{x - 3}} =  + \infty \).

Vậy \(m =  - 3\). Chọn A.