Giá trị \(m\) để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 2m - 1}}{{x + m}}\) đi qua điểm \(M\left( {3\,;\,1} \right)\) là     

Từ đồ thị, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). Chọn D.

Hàm số xác định khi \[x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\].

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}} =  + \infty \], suy ra tiệm cận đứng của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(x =  - 1\).

Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}} = x + 9 + \frac{1}{{x + 1}}\).

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 9} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right) = 0\].

Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(y = x + 9\).

Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\).

Từ đó suy ra, tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( { - 2\,;\,6} \right)\,,\,\,B\left( {0\,;\,10} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 2\,;\,6} \right)\,,\,\,\overrightarrow {OB}  = \left( {0\,;\,10} \right)\).

Diện tích tam giác \(OAB\) bằng \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| { - 2 \cdot 10 - 0 \cdot 6} \right| = 10\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,          d) Sai.