Một tấm ván hình chữ nhật \(ABCD\) được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu \(2{\rm{\;m}}\). Cho biết \(AB = 1\;\,{\rm{m;}}\,\,AD = 3,5\;\,{\rm{m}}\). Tính tan của góc giữa đường thẳng \(BD\) và đáy hố (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thang, \[AB = 2\], \[AD = DC = CB = 1\], \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy và \[SA = 3\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SB\] và \[DM\] (viết kết quả dưới dạng số thập phân).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H,\,\,M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm \(AB,\,\,SA\) và \(CD\).

a) \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

b) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

c) Gọi \(\alpha \) là số đo góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\). Khi đó \(\cos \alpha = - \frac{1}{5}\).

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SN\) bằng \(\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Ông An xây một bể bơi, ban đầu có dạng là hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Sau đó ông làm lại mặt đáy như hình vẽ.

Biết rằng \(A'B'MN\) và \(MNEF\) là các hình chữ nhật, \(\left( {MNEF} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right)\), \(AB = 20\,{\rm{m}}\), \(AD = 50\,{\rm{m}}\), \(AA' = 1,8\,{\rm{m}}\), \(MF = 30\,{\rm{m}}\), \(DE = 1,5\,{\rm{m}}\).

a) Cạnh BC của thành bể vuông góc với đường thẳng chứa MN của đáy bể.

b) Góc giữa thành bể \[ABB'A'\] và mặt phẳng chứa phần đáy \[\left( {MNA'B'} \right)\] gần bằng \(65^\circ 45'\).

c) Khoảng cách từ điểm B của góc bể đến mặt phẳng chứa phần đáy \[\left( {MNA'B'} \right)\] xấp xỉ bằng \(1,6599\,\,{\rm{m}}\).

d) Ông An bơm nước vào bể để phục vụ cho việc kinh doanh, đến khi mặt nước cách mép trên của thành bể \(0,2\,{\rm{m}}\) thì ông dừng lại, và giá tiền nước là 15 000 đồng/m³. Khi đó số tiền nước mà ông An phải trả là 20 400 000 đồng.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AD = 2AB = 2a\). Biết hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\)\(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = \frac{{a\sqrt {15} }}{{15}}\). Số đo góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng bao nhiêu độ?

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I\) là điểm thuộc \(SO\) sao cho \(SI = \frac{1}{3}SO\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thay đổi đi qua \(B\) và \(I\) cắt các cạnh \(SA,\,SC,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,N,\,P\). Gọi \(m,\,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\). Tính giá trị của biểu thức \(25m + 15n\).

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\]. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \[BC\]và \[SM\] bằng \[\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]. Thể tích của khối chóp \[S.ABC\] được viết dưới dạng \[\frac{{{a^3}\sqrt m }}{n}\], với \[m\] là số nguyên tố. Khi đó, \[m - n\] bằng bao nhiêu?