Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I\) là điểm thuộc \(SO\) sao cho \(SI = \frac{1}{3}SO\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thay đổi đi qua \(B\) và \(I\) cắt các cạnh \(SA,\,SC,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,N,\,P\). Gọi \(m,\,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\). Tính giá trị của biểu thức \(25m + 15n\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I\) là điểm thuộc \(SO\) sao cho \(SI = \frac{1}{3}SO\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thay đổi đi qua \(B\) và \(I\) cắt các cạnh \(SA,\,SC,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,N,\,P\). Gọi \(m,\,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\). Tính giá trị của biểu thức \(25m + 15n\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Áp dụng định lý Menelaus ta có \(\frac{{PS}}{{PD}} \cdot \frac{{IO}}{{IS}} \cdot \frac{{BD}}{{BO}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{PS}}{{PD}} \cdot 2 \cdot 2 = 1 \Leftrightarrow \frac{{PS}}{{PD}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{SD}}{{SP}} = 5\).
Khi \(N \equiv C\), áp dụng định lý Menelaus, có \(\frac{{MS}}{{MA}} \cdot \frac{{IO}}{{IS}} \cdot \frac{{CA}}{{CO}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{MS}}{{MA}} = \frac{{IS}}{{IO}} \cdot \frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{MS}}{{MA}} = \frac{1}{4}\).
, khi đó ta có với \(1 \le x \le 5\).
Ta có \(x\left( {6 - x} \right) = - {\left( {x - 3} \right)^2} + 9\) mà \(1 \le x \le 5 \Rightarrow 5 \le x\left( {6 - x} \right) \le 9 \Rightarrow \frac{1}{{15}} \le \frac{3}{{5x\left( {6 - x} \right)}} \le \frac{3}{{25}}\).
và . Vậy \(25m + 15n = 25 \cdot \frac{3}{{25}} + 15 \cdot \frac{1}{{15}} = 4\).
Đáp án: \[4\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \[M\] là trung điểm của \[AB\].
Theo giả thiết suy ra \[ABCD\] là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính \[AB\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACB} = 90^\circ ;\widehat {ABC} = 60^\circ \\AC = \sqrt 3 \end{array} \right.\].
Vì \[DM{\rm{//}}BC \Rightarrow DM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\].
Do đó \[d\left( {DM,SB} \right) = d\left( {DM,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\] (vì \[MB = \frac{1}{2}AB\]).
Kẻ \[AH \bot SC\] tại \[H\]. Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\]\[ \Rightarrow AH \bot BC\].
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\].
Xét tam giác \[SAC\] vuông tại \[A\], ta có \[A{H^2} = \frac{{A{C^2} \cdot S{A^2}}}{{A{C^2} + S{A^2}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot {3^2}}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {3^2}}} = \frac{9}{4}\]\[ \Rightarrow AH = \frac{3}{2}\].
Vậy \[d\left( {DM,SB} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{3}{4} = 0,75\].
Lời giải
Mô hình hoá như hình vẽ, với \(AB\) là chiều dài con dốc, \(AH\) là độ cao của điểm \(A\) so với mặt nước biển, \(BK\) là độ cao của điểm \(B\) so với mặt nước biển, \(BI\) là chiều cao của con dốc, độ lớn của \(\widehat {BAI}\) chỉ độ dốc.
Ta có \(AH = 200,BK = 220,AB = 120\).
\(AHKI\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow IK = AH = 200 \Rightarrow BI = BK - IK = 220 - 200 = 20\).
Vì tam giác \(ABI\) vuông tại \(I\) nên ta có:
\({\rm{sin}}\widehat {BAI} = \frac{{BI}}{{AB}} = \frac{{20}}{{120}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \widehat {BAI} \approx 9,59^\circ \) tương ứng với \(10,7{\rm{\% }}\).
Vậy độ dốc của con dốc đó là 10,7%.
Đáp án: \(10,7\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(2,54\).
B. \(0,66\).
C. \(0,52\).
D. \(1,02\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[\frac{{2a\sqrt {57} }}{{17}}\].
B. \[\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\].
C. \[\frac{{2a\sqrt {57} }}{{21}}\].
D. \[\frac{{2a\sqrt {57} }}{{23}}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập