Câu hỏi:

17/06/2025 20

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho tứ diện \(S.ABC\) có ba cạnh \(SA,{\rm{ }}SB,{\rm{ }}SC\) đôi một vuông góc với nhau và \(SA = 2,\)\(SB = 2,SC = 3\). Gọi điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

a) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

b) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {GS} \).

c) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {SA} \)\(\overrightarrow {CG} \) bằng \(\frac{4}{3}\).

d) Tang góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BS} \) \(\overrightarrow {GC} \) bằng \(\sqrt {10} \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

c (ảnh 1)

Điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

Khi đó, \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = \left( {\overrightarrow {SG}  + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {SG}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {SG}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {SG} \).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), ta có:

\(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {CG}  = \overrightarrow {SA}  \cdot \frac{2}{3}\overrightarrow {CM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {SA}  \cdot \left( {\overrightarrow {CS}  + \overrightarrow {SM} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {CS}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {SM} \).

Vì \(SA \bot SC\) nên \(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {CS}  = 0\).

Ta có \(\frac{2}{3}\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {SM}  = \frac{2}{3}SA \cdot SM \cdot \cos \widehat {ASM} = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot \sqrt 2  \cdot \cos 45^\circ  = \frac{4}{3}\).

Do đó, \(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {CG}  = \frac{4}{3}\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(SA\), ta có: \(\overrightarrow {BS}  = 2\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {GC}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {MC}  \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BS} ,\,\overrightarrow {GC} } \right) = \left( {\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {MC} } \right) = \widehat {CMN}.\)

Ta có \(MN{\rm{//}}SB,\,SA \bot SB\) nên \(MN \bot SA\). Lại có \(MN \bot SC\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SC \bot \left( {SAB} \right)} \right)\).

Do đó, \(MN \bot \left( {SAC} \right)\). Suy ra \(MN \bot CN\).

Tam giác \(CNM\) vuông tại \(N\) nên \(\tan \widehat {CMN} = \frac{{CN}}{{MN}} = \frac{{\sqrt {10} }}{1} = \sqrt {10} \).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,         c) Đúng,      d) Đúng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OABC\) là hình chữ nhật, suy ra \({x_A} = {x_B} = 4\).

Do \(A\) nằm trên trục \(Ox\) nên toạ độ điểm \(A\) là \(\left( {4;0;0} \right)\).

Tường nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OCHE\) là hình chữ nhật, suy ra \({y_H} = {y_C} = 5;{z_H} = {z_E} = 3\).

Do \(H\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên toạ độ điểm \(H\) là \(\left( {0;5;3} \right)\).

Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt lần lượt là \(\left( {FGQP} \right)\)và \(\left( {FGHE} \right)\). Do mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( {FGQP} \right)\)và \(\left( {FGHE} \right)\) nên \(\widehat {PFE}\)  là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó.

Ta có \(\overrightarrow {FP}  = \left( { - 2\,;0\,;\,1} \right),\,\,\overrightarrow {FE}  = \left( { - 4;0\,;\,0} \right)\).

Suy ra \(\cos \widehat {PFE} = \cos \left( {\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} } \right) = \frac{{\overrightarrow {FP}  \cdot \overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {FE} } \right|}}\)\( = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Do đó, \(\widehat {PFE} = 26,6^\circ \). Vậy góc dốc của mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).

Ta có \(\overrightarrow {PQ}  = \left( {0\,;\,5\,;\,0} \right),\,\,\overrightarrow {PE}  = \left( { - 2\,;\,0\,; - 1} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {PQHE} \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PE} } \right] = \left( { - 5\,;\,0\,;\,10} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {PQHE} \right)\) là \( - x + 2z - 6 = 0\).

Vậy độ dài tối thiểu của sợi dây điện bằng khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {PQHE} \right)\):

\(d\left( {A,\,\left( {PQHE} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 - 6} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5  \approx 4,47 > 4,4\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Đúng,      d) Sai.

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

Hỏi với cách bò như vậy, con kiến đã bò qua bao nhiêu điểm mà điểm đó có hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương? (ảnh 1)

Giả sử con kiến bò theo đường \(MNPQRSM\).

Ta trải phẳng các mặt của hình lập phương và minh họa đường đi ngắn nhất của con kiến như hình sau:

Hỏi với cách bò như vậy, con kiến đã bò qua bao nhiêu điểm mà điểm đó có hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương? (ảnh 2)

Gắn hệ trục \(O'xy\) như hình vẽ. Do độ dài cạnh hình lập phương là \(9\) và \(O'M = \frac{1}{3}O'B' = 3\) nên trong hệ trục tọa độ này, ta có đường thẳng \(d\) minh họa đường đi ngắn nhất của con kiến đi qua các điểm có tọa độ \(\left( {3;0} \right)\), \(\left( {30;27} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\): \(y = x - 3\).

Các đoạn thẳng \(MN,PQ,RS\) lần lượt thuộc các mặt phẳng tọa độ \(\left( {yOz} \right),\left( {xOy} \right),\left( {xOz} \right)\) nên trong không gian, tọa độ của các điểm thuộc các đoạn thẳng này không thỏa yêu cầu bài toán (hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương).

Vậy ta chỉ cần đếm tổng số điểm có tọa độ nguyên dương thuộc các đoạn thẳng \(NP,QR,SM\)(không tính các đầu mút) trong hệ tọa độ \(O'xy\).

Xét đoạn \(NP\):

Điểm \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in NP\) và có tọa độ là các số nguyên dương khi \(\left\{ \begin{array}{l}9 < {x_0} < 12\\{x_0} \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Rightarrow {x_0} &  \in \left\{ {10;11} \right\}\). Trường hợp này có 2 điểm.

Hai trường hợp còn lại tương tự.

Kết luận: có tất cả \(6\) điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(6\).

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP