Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 2025 = 0\).

a) Số đo góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(90^\circ \).

b) Biết hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(H\left( {3; - 1;2} \right)\), \(\alpha \)là số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(\Delta \), khi đó \({\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{14}}\).

c) Đường thẳng \({d_1}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\). Gọi \(\beta \) là góc giữa \({d_1}\) và mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\]. Khi đó \(\beta > 30^\circ \).

d) Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) tạo với \[\left( Q \right):x + my - 3 = 0\] một góc \(30^\circ \). Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) bằng \(\frac{{ - 8}}{5}\).

a) Ta có \(\Delta :\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( { - 1;2;3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 2025 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec v = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\vec v} \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\).

Suy ra số đo góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(0^\circ \).

b) Hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(H\left( {3; - 1;2} \right)\) nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow {OH}  = \left( {3; - 1;2} \right)\). Ta có \(\sin \alpha  = \left| {\cos \left( {\vec u,\overrightarrow {OH} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 3 - 2 + 6} \right|}}{{14}} = \frac{1}{{14}}\). Suy ra \({\rm{cos}}\alpha  = \frac{{\sqrt {195} }}{{14}}\).

c) Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra vectơ chỉ phương của \({d_1}\) là \(\left[ {\vec k,\vec v} \right] = \left( { - 2\,;\,1\,;\,0} \right) = \vec a\).

Mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] có vectơ pháp tuyến là \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\).

Ta có \(\sin \beta  = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec j} \right)} \right| = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \beta  \approx 27^\circ  < 30^\circ \).

d) Đường thẳng \({d_2}\)vuông góc với \(\left( P \right)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\vec v = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \[\left( Q \right):x + my - 3 = 0\] có vectơ pháp tuyến là \({\vec n_{\left( Q \right)}} = \left( {1;m;0} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {{d_2},\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\vec n}_{\left( Q \right)}},\vec v} \right)} \right| = \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt 6  \cdot \sqrt {{m^2} + 1} }} = \sin 30^\circ  = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2\left| {1 + 2m} \right| = \sqrt 6  \cdot \sqrt {{m^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow 2\left( {1 + 4m + 4{m^2}} \right) = 3\left( {{m^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 5{m^2} + 8m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {21} }}{5}\).

Tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) bằng \(\frac{{ - 8}}{5}\).

Đáp án:       a) Sai,         b) Sai,         c) Sai,          d) Đúng.