Câu hỏi:

17/06/2025 68 Lưu

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] mắt một người quan sát đặt tại điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\] và vật cần quan sát đặt tại điểm \[N\left( {2;3; - 12} \right)\]. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] tâm đặt tại gốc tọa độ, bán kính \[R\] che khuất tầm nhìn của người quan sát. Khi đó bán kính của tấm bìa nhỏ nhất là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Khi đó bán kính của tấm bìa nhỏ nhất là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Giả sử người quan sát không nhìn thấy vật khi và chỉ khi người quan sát không nhìn thấy điểm \(N,\) hay tấm bìa cứng che khuất điểm \(N.\) Khi đó, đoạn thẳng \(MN\) cắt tấm bìa cứng tại điểm \(I\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(MN:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 - 15t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có \(I = MN \cap \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow 3 - 15t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{5} \Rightarrow I\left( {\frac{6}{5};\frac{{11}}{5};0} \right)\).

Vì \({z_M} \cdot {z_N} =  - 36 < 0\) nên \(M,N\) nằm về hai phía của \(I\) hay tấm bìa có thể che khuất vật.

Mặt khác, tấm bìa hình tròn có tâm là gốc tọa độ nên tấm bìa muốn che khuất vật khi và chỉ khi

\(R \ge OI = \sqrt {{{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{5}} \right)}^2} + {0^2}}  = \frac{{\sqrt {157} }}{5} \approx 2,51.\)

Đáp án: \(2,51\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Ta có \[\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c = \left( {5\,;\,3\,;\, - 9} \right)\]. Chọn C.

Lời giải

a) Tính được \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2;0;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {0;3;0} \right),\overrightarrow {AB'}  = \left( {0;0;4} \right) \Rightarrow AB = 2;AC = 3;AB' = 4\].

\[Oz \bot \left( {Oxy} \right)\] và \[AB' \subset Oz\], \[\left( {ABC} \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\] nên \[AB' \bot \left( {ABC} \right)\].

Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là:

\[V = d\left( {B',\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{\Delta ABC}} = AB' \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 12\].

b) Gọi \[A'\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \left( {x;y;z} \right)\].

Có \[\overrightarrow {BB'}  = \left( { - 2;0;4} \right)\], mà \[\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AA'} \], suy ra toạ độ điểm \[A'\] là \[\left( { - 2;0;4} \right)\].

Từ đó ta có \[\overrightarrow {A'B}  = \left( {4;0; - 4} \right),\overrightarrow {A'C}  = \left( {2;3; - 4} \right)\]. Vậy \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {A'C} \] thì \[\overrightarrow u  = \left( {6;3; - 8} \right)\].

c) Gọi \[C'\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CC'}  = \left( {a;b - 3;c} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'} \], mà \[\overrightarrow {BB'}  = \left( { - 2;0;4} \right)\], suy ra toạ độ điểm \[C'\] là \[\left( { - 2;3;4} \right)\].

d) Hình chiếu vuông góc của điểm \[B\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] là điểm \[A\] (do \[Ox \bot \left( {Oyz} \right)\]).

Do \[Ox\,{\rm{//}}\,A'B'\] mà \[Ox \bot \left( {Oyz} \right)\] nên \[A'B' \bot \left( {Oyz} \right)\], từ đó suy ra hình chiếu vuông góc của điểm \[A'\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] là điểm \[B'\].

Gọi \[{C_1}\left( {m;n;p} \right)\] là hình chiếu vuông góc của \[C'\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\]\[ \Rightarrow {C_1}\left( {0;3;4} \right)\].

Vậy hình chiếu của hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\]là hình chữ nhật \[AB'{C_1}C\].

Diện tích đa giác là: \[{S_{AB'{C_1}C}} = AB' \cdot AC = 4 \cdot 3 = 12\].

Đáp án:       a) Sai,         b) Đúng,     c) Đúng,      d) Sai.

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP