Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), có 3 diễn viên xiếc nhào lộn đang ở 3 vị trí \(A\left( {1\,; - 2\,;\,3} \right)\), \(B\left( {3\,;\,4\,;\,1} \right)\), \(C\left( { - 5\,;\,2\,;\,1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là một mặt phẳng lưới bảo hộ di động luôn  chứa trục hoành sao cho \(A\), \(B\), \(C\) nằm cùng phía với \(\left( \alpha \right)\) và \({d_1},\,{d_2},\,{d_3}\) lần lượt là khoảng cách từ \(A,\) \(B\), \(C\) đến \(\left( \alpha \right)\). Tiết mục xiếc sẽ được bắt đầu khi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) được điều chỉnh để biểu thức \(T = {d_1} + 2{d_2} + 3{d_3}\) đạt giá trị lớn nhất. Biết \(T\) lớn nhất bằng \(a\sqrt b \) (với \(a \in \mathbb{N}\), \(b\) là số nguyên tố). Hãy tính giá trị của biểu thức \(S = 2{\rm{a}} + 3b\).

Cách 1.

Bài toán phụ: Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) với ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\); \(A',B',C',G'\) lần lượt là hình chiếu của \(A,B,C,G\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\), khi đó ta có \[AA' + BB' + CC' = 3GG'\].

Trong hệ trục \[Oxyz\] lấy điểm \(A'\) sao cho \(\overrightarrow {OA'}  = \frac{1}{6}\overrightarrow {OA}  \Rightarrow A'\left( {\frac{1}{6}; - \frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right)\) và \({d_1} = 6d\left( {A',\left( \alpha  \right)} \right) = 6{d'_1};\)

lấy điểm \(B'\) sao cho \(\overrightarrow {OB'}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OB}  \Rightarrow B'\left( {1;\frac{4}{3};\frac{1}{3}} \right)\) và \[{d_2} = 3d\left( {B',\left( \alpha  \right)} \right) = 3{d'_2}\];

lấy điểm \(C'\) sao cho \(\overrightarrow {OC'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC}  \Rightarrow C'\left( { - \frac{5}{2};1;\frac{1}{2}} \right)\) và \({d_3} = 2d\left( {C',\left( \alpha  \right)} \right) = 2{d'_3}\).

Khi đó \[T = {d_1} + 2{d_2} + 3{d_3} = 6\left( {{{d'}_1} + {{d'}_2} + {{d'}_3}} \right) = 6 \cdot 3GG' = 18GG'\] với \(G\left( {\frac{{ - 4}}{9};\frac{2}{3};\frac{4}{9}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) và \(G'\) là hình chiếu của G lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Ta lại có \(GG'\, = d\left( {G,\left( \alpha  \right)} \right) \le d\left( {G,Ox} \right) = \sqrt {\frac{4}{9} + \frac{{16}}{{81}}}  = \frac{{2\sqrt {13} }}{9}\); suy ra \(T \le 4\sqrt {13} \).

Vậy \(S = 2a + 3b = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 13 = 47\).

Cách 2.

Ta có \(T = {d_1} + 2{d_2} + 3{d_3} = \left( {{d_1} + {d_2}} \right) + \left( {{d_2} + {d_3}} \right) + 2{d_3}\).

Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BA\), \(BC\), ta có \(M\left( {2;1;2} \right)\), \(N\left( { - 1;3;1} \right)\).

Suy ra \({d_1} + {d_2} = 2d\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right) = 2{d_M}\), \({d_2} + {d_3} = 2d\left( {N,\left( \alpha  \right)} \right) = {d_N}\)\( \Rightarrow T = 2{d_M} + 2{d_N} + 2{d_3}\)  \(\left( 1 \right)\).

Gọi \(M'\), \(N'\), \(C'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\), \(N\), \(C\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(MNC\) và \(G'\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(G\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)\( \Rightarrow G\left( { - \frac{4}{3};2;\frac{4}{3}} \right)\).

Theo tính chất của phép chiếu vuông góc, ta suy ra \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(M'N'C'\).

Do đó, \(\overrightarrow {G'M'}  + \overrightarrow {G'N'}  + \overrightarrow {G'C'}  = \overrightarrow 0 \).

Mặt khác \(\overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {NN'}  + \overrightarrow {CC'}  = 3\overrightarrow {GG'} \) \(\left( * \right)\).

Và do các vectơ \(\overrightarrow {MM'} \), \(\overrightarrow {NN'} \), \(\overrightarrow {CC'} \), \(\overrightarrow {GG'} \) cùng hướng nên \(\left( * \right)\)\( \Leftrightarrow MM' + NN' + CC' = 3GG'\)

hay \({d_M} + {d_N} + {d_C} = 3{d_G}\)\(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(T = 6d\left( {G,\left( \alpha  \right)} \right) \le 6d\left( {G,Ox} \right)\).

Gọi \(G''\) là hình chiếu của \(G\) xuống trục \(Ox\)\( \Rightarrow G''\left( { - \frac{4}{3};0;0} \right)\).

Suy ra \(T = 6d\left( {G,\left( \alpha  \right)} \right) \le 6d\left( {G,Ox} \right) = 6GG' = 6\sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}}  = 4\sqrt {13} \).

Vậy \(\mathop {\max T}\limits_{}  = 4\sqrt {13} \) khi và chỉ khi \(GG' \bot Ox\).

Vậy \(a = 4,b = 13 \Rightarrow 2a + 3b = 47\).

Đáp án: \(47\).