Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ \(Oxyz\) (gốc \(O\) đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc \(6\) giờ máy bay \(A\) xuất phát từ Đà Nẵng đến TP. Hồ Chí Minh theo tia \(OA\) lần lượt hợp với ba tia \[Ox\], \(Oy\), \(Oz\) các góc bằng nhau với vận tốc \(800\) km/h. Mười phút sau máy bay \(B\) đi Hà Nội theo tia \(OB\) hợp với ba tia \(Ox'\), \(Oy'\), \(Oz\) các góc bằng nhau với vận tốc \(900\) km/h (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị kilômét và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay \(A\) và \(B\) lúc \(6\) giờ \(30\) phút.

a) Tính được \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2;0;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {0;3;0} \right),\overrightarrow {AB'}  = \left( {0;0;4} \right) \Rightarrow AB = 2;AC = 3;AB' = 4\].

Có \[Oz \bot \left( {Oxy} \right)\] và \[AB' \subset Oz\], \[\left( {ABC} \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\] nên \[AB' \bot \left( {ABC} \right)\].

Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là:

\[V = d\left( {B',\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{\Delta ABC}} = AB' \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 12\].

b) Gọi \[A'\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \left( {x;y;z} \right)\].

Có \[\overrightarrow {BB'}  = \left( { - 2;0;4} \right)\], mà \[\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AA'} \], suy ra toạ độ điểm \[A'\] là \[\left( { - 2;0;4} \right)\].

Từ đó ta có \[\overrightarrow {A'B}  = \left( {4;0; - 4} \right),\overrightarrow {A'C}  = \left( {2;3; - 4} \right)\]. Vậy \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {A'C} \] thì \[\overrightarrow u  = \left( {6;3; - 8} \right)\].

c) Gọi \[C'\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CC'}  = \left( {a;b - 3;c} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'} \], mà \[\overrightarrow {BB'}  = \left( { - 2;0;4} \right)\], suy ra toạ độ điểm \[C'\] là \[\left( { - 2;3;4} \right)\].

d) Hình chiếu vuông góc của điểm \[B\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] là điểm \[A\] (do \[Ox \bot \left( {Oyz} \right)\]).

Do \[Ox\,{\rm{//}}\,A'B'\] mà \[Ox \bot \left( {Oyz} \right)\] nên \[A'B' \bot \left( {Oyz} \right)\], từ đó suy ra hình chiếu vuông góc của điểm \[A'\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] là điểm \[B'\].

Gọi \[{C_1}\left( {m;n;p} \right)\] là hình chiếu vuông góc của \[C'\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\]\[ \Rightarrow {C_1}\left( {0;3;4} \right)\].

Vậy hình chiếu của hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\]là hình chữ nhật \[AB'{C_1}C\].

Diện tích đa giác là: \[{S_{AB'{C_1}C}} = AB' \cdot AC = 4 \cdot 3 = 12\].

Đáp án:       a) Sai,         b) Đúng,     c) Đúng,      d) Sai.

Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\] có dạng là \[3x - 2y + z + D = 0\,\,\left( {D \ne 1} \right)\].

Do mặt phẳng đó qua \[M\left( {2; - 1;4} \right)\] nên ta có \[3 \cdot 2 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 4 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 12\].

Vậy phương trình mặt phẳng là \[3x - 2y + z - 12 = 0\]. Chọn C.