B. TỰ LUẬN

Cho biểu đồ cột kép theo dõi sĩ số học sinh của bốn lớp khối 6.

a) Lập bảng thống kê sĩ số học sinh đầu năm, cuối năm của bốn lớp khối 6.

b) Tổng số học sinh của bốn lớp cuối năm tăng hay giảm so với tổng số học sinh của bốn lớp đầu năm? Và tăng hay giảm bao nhiêu học sinh?

a) Trên \(AB\), có \(AM < AB{\rm{ }}\left( {3{\rm{ cm}} < 9{\rm{ cm}}} \right)\).

Nên \(M\) nằm giữa hai điểm \(A,B\).

Ta có: \(AM + MB = AB\) nên \(MB = AB - AM = 9 - 3 = 6{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Mà \(I\) là trung điểm của \(MB\) nên \(MI = IB = \frac{1}{2}MB = 3{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Vậy \(MI = 3{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

b) Vì \(M\) nằm giữa hai điểm \(A,B\) và \(I\) là trung điểm của \(MB\) nên \(M\) nằm giữa hai điểm \(A,I.\)

Mà \(MI = AM = 3{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Do đó, \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AI.\)

3.1. Số lần tung đồng xu là \(n = 30.\)

Để xuất hiện ít nhất một mặt sấp thì có thể xảy ra là mặt SN và SS.

Do đó, số lần tung được ít nhất một mặt sấp là: \(k = 18 + 8 = 26\).

Xác suất thực nghiệm của sự kiện “Xuất hiện ít nhất một mặt sấp” là: \(\frac{k}{n} = \frac{{26}}{{30}} = \frac{{13}}{{15}}.\)

3.2. Đặt \(A = \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{13}} + ... + \frac{1}{{70}}\)

\(A = \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{21}} + ... + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{31}} + ... + \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{41}} + ... + \frac{1}{{50}} + \frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}} + \frac{1}{{61}} + ... + \frac{1}{{70}}\)

\(A = \left( {\frac{1}{{11}} + ... + \frac{1}{{20}}} \right) + \left( {\frac{1}{{21}} + ... + \frac{1}{{30}}} \right) + \left( {\frac{1}{{31}} + ... + \frac{1}{{40}}} \right) + \left( {\frac{1}{{41}} + ... + \frac{1}{{50}}} \right) + \left( {\frac{1}{{51}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right) + \left( {\frac{1}{{61}} + ... + \frac{1}{{70}}} \right)\)

Nhận thấy \(\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{20}} < \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{1}{{10}}\) hay \(\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{20}} < \frac{1}{{10}}.10 = 1\).

                \(\frac{1}{{21}} + \frac{1}{{22}} + ... + \frac{1}{{30}} < \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{20}} + ... + \frac{1}{{20}}\) hay \(\frac{1}{{21}} + \frac{1}{{22}} + ... + \frac{1}{{30}} < \frac{1}{{20}}.10 = \frac{1}{2}\)

                \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + ... + \frac{1}{{40}} < \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{30}} + ... + \frac{1}{{30}}\) hay \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + ... + \frac{1}{{40}} < \frac{1}{{30}}.10 = \frac{1}{3}\)

                \(\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + ... + \frac{1}{{50}} < \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + ... + \frac{1}{{40}}\) hay \(\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + ... + \frac{1}{{50}} < \frac{1}{{40}}.10 = \frac{1}{4}\)

                \(\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}} < \frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + ... + \frac{1}{{50}}\) hay \(\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}} < \frac{1}{{50}}.10 = \frac{1}{5}\)

                \(\frac{1}{{61}} + \frac{1}{{62}} + ... + \frac{1}{{70}} < \frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + ... + \frac{1}{{60}}\) hay \(\frac{1}{{61}} + \frac{1}{{62}} + ... + \frac{1}{{70}} < \frac{1}{{60}}.10 = \frac{1}{6}\)

Do đó, \(A < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}\) hay \(A < \frac{{49}}{{20}} < \frac{{50}}{{20}} = \frac{5}{2}\).