Cho hình vẽ dưới đây.

Độ dài của đoạn thẳng trong hình vẽ trên là

Ta có: \(C = \frac{3}{{1.3}} + \frac{3}{{3.5}} + \frac{3}{{5.7}} + ... + \frac{3}{{95.97}} + \frac{3}{{97.99}}\)

\(C = 3\left( {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{95.97}} + \frac{1}{{97.99}}} \right)\)

\(C = \frac{3}{2}\left( {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + ... + \frac{2}{{95.97}} + \frac{2}{{97.99}}} \right)\)

\(C = \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{95}} - \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{97}} - \frac{1}{{99}}} \right)\)

\(C = \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{{99}}} \right)\)

\(C = \frac{3}{2}.\frac{{98}}{{99}}\)

\(C = \frac{{49}}{{33}}.\)

Vậy \(C = \frac{{49}}{{33}}.\)

a) Ta có: \(AC = AB + BC\) và \(BD = BC + CD.\)

Mà \(AC = BD\), nên \(AB + BC = BC + CD\).

Do đó, \(AB = CD.\)

b) Ta có \(P\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AP = PB = \frac{{AB}}{2}\).

              \(Q\) là trung điểm của \(CD\) nên \(CQ = QD = \frac{{CD}}{2}\).

Ta có: \(PQ = PB + BC + CQ = \frac{{AB}}{2} + BC + \frac{{CD}}{2}\)

                 \( = \frac{{AB + 2BC + CD}}{2} = \frac{{AB + BC + BC + CD}}{2} = \frac{{AC + BD}}{2}.\)

Vậy \(PQ = \frac{{AC + BD}}{2}.\)