(3,0 điểm)

3.1. Cho đa thức \(Q\left( x \right) = - 3{x^3} + x - {x^4} - 3 + {x^3} + 4x - 2{x^2}\).

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Chỉ ra hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của đa thức.

c) Tính giá trị của đa thức \(Q\left( {\frac{1}{2}} \right),Q\left( 1 \right),Q\left( { - 1} \right)\).

d) Tìm đa thức \(T\left( x \right)\), biết \(T\left( x \right) - {x^4} + 2{x^3} - 5x = Q\left( x \right)\).

3.2.Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {\left( {x + 2014} \right)^2} + {\left( {y - 2015} \right)^2} + {\left( {z - 2016} \right)^2} + 2017\).

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có: \(Q\left( x \right) = - 3{x^3} + x - {x^4} - 3 + {x^3} + 4x - 2{x^2}\)

\(Q\left( x \right) = \left( { - 3{x^3} + {x^3}} \right) - {x^4} - 3 + \left( {4x + x} \right) - 2{x^2}\)

\(Q\left( x \right) = - {x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + 5x - 3\).

b) Đa thức \(Q\left( x \right)\) có hệ số cao nhất là \( - 1\), hệ số tự do là \( - 3\) và bậc là \(4\).

c) Ta có: \(Q\left( {\frac{1}{2}} \right) = - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 5.\frac{1}{2} - 3\)

\(Q\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{{16}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{{ - 21}}{{16}}\).

\(Q\left( 1 \right) = - {\left( 1 \right)^4} - {2.1^3} - {2.1^2} + 5.1 - 3 = - 3\).

\(Q\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^4} - 2.{\left( { - 1} \right)^3} - 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 5.\left( { - 1} \right) - 3 = - 9\).

d) Ta có: \(T\left( x \right) - {x^4} + 2{x^3} - 5x = Q\left( x \right)\) suy ra \(T\left( x \right) = Q\left( x \right) + {x^4} - 2{x^3} + 5x\)

Do đó, \(T\left( x \right) = Q\left( x \right) + {x^4} - 2{x^3} + 5x\)

\(T\left( x \right) = - {x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + 5x - 3 + {x^4} - 2{x^3} + 5x = - 4{x^3} - 2{x^2} + 10x - 3\).

Vậy \(T\left( x \right) = - 4{x^3} - 2{x^2} + 10x - 3\).

3.2. Ta có: \(A = {\left( {x + 2014} \right)^2} + {\left( {y - 2015} \right)^2} + {\left( {z - 2016} \right)^2} + 2017\)

Nhận thấy \({\left( {x + 2014} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {y - 2015} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {z - 2016} \right)^2} \ge 0\)

Do đó, \({\left( {x + 2014} \right)^2} + {\left( {y - 2015} \right)^2} + {\left( {z - 2016} \right)^2} + 2017 \ge 2017\) khi đồng thời \(x + 2014 = 0\); \(y - 2015 = 0\); \(z - 2016 = 0\).

Suy ra \(x = - 2014;y = 2015;z = 2016\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 2017\) khi \(x = - 2014;y = 2015;z = 2016\).