(0,5 điểm) Chứng minh rằng nếu \(\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}}{\rm{ }}\left( {c + d \ne 0} \right)\) thì \(a = c\) hoặc \(a + b + c + d = 0\).

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có: \(Q\left( x \right) = - 3{x^3} + x - {x^4} - 3 + {x^3} + 4x - 2{x^2}\)

\(Q\left( x \right) = \left( { - 3{x^3} + {x^3}} \right) - {x^4} - 3 + \left( {4x + x} \right) - 2{x^2}\)

\(Q\left( x \right) = - {x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + 5x - 3\).

b) Đa thức \(Q\left( x \right)\) có hệ số cao nhất là \( - 1\), hệ số tự do là \( - 3\) và bậc là \(4\).

c) Ta có: \(Q\left( {\frac{1}{2}} \right) = - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 5.\frac{1}{2} - 3\)

\(Q\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{{16}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{{ - 21}}{{16}}\).

\(Q\left( 1 \right) = - {\left( 1 \right)^4} - {2.1^3} - {2.1^2} + 5.1 - 3 = - 3\).

\(Q\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^4} - 2.{\left( { - 1} \right)^3} - 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 5.\left( { - 1} \right) - 3 = - 9\).

d) Ta có: \(T\left( x \right) - {x^4} + 2{x^3} - 5x = Q\left( x \right)\) suy ra \(T\left( x \right) = Q\left( x \right) + {x^4} - 2{x^3} + 5x\)

Do đó, \(T\left( x \right) = Q\left( x \right) + {x^4} - 2{x^3} + 5x\)

\(T\left( x \right) = - {x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + 5x - 3 + {x^4} - 2{x^3} + 5x = - 4{x^3} - 2{x^2} + 10x - 3\).

Vậy \(T\left( x \right) = - 4{x^3} - 2{x^2} + 10x - 3\).

3.2. Ta có: \(A = {\left( {x + 2014} \right)^2} + {\left( {y - 2015} \right)^2} + {\left( {z - 2016} \right)^2} + 2017\)

Nhận thấy \({\left( {x + 2014} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {y - 2015} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {z - 2016} \right)^2} \ge 0\)

Do đó, \({\left( {x + 2014} \right)^2} + {\left( {y - 2015} \right)^2} + {\left( {z - 2016} \right)^2} + 2017 \ge 2017\) khi đồng thời \(x + 2014 = 0\); \(y - 2015 = 0\); \(z - 2016 = 0\).

Suy ra \(x = - 2014;y = 2015;z = 2016\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 2017\) khi \(x = - 2014;y = 2015;z = 2016\).

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta HKC\), có:

Ta có: \(BH = 2BK\) hay \(BK + KH = 2BK\) suy ra \(KH = BK.\)

Mà \(MK = \frac{1}{2}KB\) nên \(MK = \frac{1}{2}KH\) hay \(M\) là trung điểm của \(KH\).

Lại có: \(IC = \frac{1}{3}CA = \frac{1}{3}.2MC = \frac{2}{3}MC\) với \(MC\) là trung tuyến của \(\Delta HKC\).

Suy ra \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\).

Mà đường thẳng \(KI\) cắt \(HC\) ở \(E\) nên \(E\) là trung điểm của \(HC.\)

b) Ta có \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\) nên \(\frac{{IE}}{{KE}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{IK}}{{KE}} = \frac{1}{3}\) do đó, \(\frac{{IE}}{{IK}} = \frac{1}{2}.\)

Ta có \(\frac{{MI}}{{MC}} = \frac{1}{3}\) hay \(MI = \frac{1}{3}MC\).

Mà \(MC = \frac{1}{2}AC\).

Suy ra \(MI = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}AC\).

Do đó, \(\frac{{MI}}{{AC}} = \frac{1}{6}.\)