(1,5 điểm) Nhà bạn Lan và bạn Hồng ở cùng một bên của bờ kênh, nhà bạn Đào ở bên kia kênh. Ba bạn hẹn gặp nhau ở nhà bạn Lan hoặc Hồng để học nhóm. Các bạn thống nhất với nhau học ở nhà bạn nào mà bạn Đào có thể đi gần nhất.

Theo em, các bạn nên học nhóm ở nhà bạn nào biết rằng nhà Đào ở \(A,\) nhà Lan ở \(B\), nhà Hồng ở \(C\) và \(\widehat B = 75^\circ ,\widehat C = 35^\circ \).

Hướng dẫn giải

a) Xét

\(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\), có:

\(AM\) chung (gt)

\(BM = MC\) (gt)

\(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân)

Do đó, \(\Delta AMB = \Delta AMC\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {MAB} = \widehat {MAC}\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó, \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

b) Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta AMF\), có:

\(\widehat {MEA} = \widehat {MFA} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {EAM} = \widehat {FAM}\)

\(AM\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta AME = \Delta AMF\) (ch – gn)

Suy ra \(ME = MF\) (hai cạnh tương ứng)

Từ đó, ta có: \(\Delta MEF\) cân tại \(M\).

c) Vì \(\Delta AME = \Delta AMF\) (cmt) nên \(AE = AF\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(AB = AC\) và ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AE + EB\\AC = AF + FC\end{array} \right.\) suy ra \(EB = FC\).

Lại có \(EB = KB\) nên \(KB = FC\).

Xét \(\Delta BKM\) và \(\Delta CFM\), có:

\(BM = MC\) (gt)

\(\widehat {FCM} = \widehat {MBK}\) (so le trong)

\(KB = FC\) (cmt)

Do đó, \(\Delta BKM = \Delta CFM\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BMK} = \widehat {CMF}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí đối đỉnh nên \(K,M,F\) thẳng hàng.

Lại có \(KM = MF\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó, \(M\) là trung điểm của \(KF\).

Hướng dẫn giải

a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra là: \(A = \left\{ {1;2;3;...;26} \right\}\).

Do đó, có 26 kết quả có thể xảy ra khi rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp.

b) Kết quả thuận lợi của biến cố \(Y\): “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” là:

\(Y = \left\{ {3;6;9;12;15;18;21;24} \right\}\). Do đó, có \(8\) kết quả thuận lợi cho biến cố này.

c) Xác suất của biến cố \(Y:\) “Số ghi trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” là: \(\frac{8}{{26}} = \frac{4}{{13}}\).

d) Kết quả thuận lợi cho biến cố \(Z\): “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số khi chia cho 4 và 5 đều có số dư là 1” là: \(Z = \left\{ {1;21} \right\}\). Do đó, có hai kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Vậy xác suất của biến cố \(Z\): “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số khi chia cho 4 và 5 đều có số dư là 1” là \(\frac{2}{{26}} = \frac{1}{{13}}\).