Cho hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2}{\rm{ }}\left( {m \ne 1} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right).\)

     a) Xác định \(m\) để đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( { - \sqrt 3 ;1} \right).\)

Với giá trị \(m\) vừa tìm được ở trên, hãy:

     b) Hãy vẽ đồ thị \(\left( P \right).\)

     c) Tìm các điểm trên \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \(3.\)

Điều kiện xác định: \(x \le  - 2;{\rm{ }}2 \le x \le \frac{5}{2}.\)

Ta có: \({x^2} - 6x + 10 = 2\sqrt {5 - 2x}  - 2\sqrt {{x^2} - 4} \)

\({x^2} - 6x + 10 - 2\sqrt {5 - 2x}  + 2\sqrt {{x^2} - 4}  = 0\)

\(5 - 2x - 2\sqrt {5 - 2x}  + {x^2} - 4x + 4 + 2\sqrt {{x^2} - 4}  = 0\)

\({\left( {\sqrt {5 - 2x}  - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + 2\sqrt {{x^2} - 4}  = 0\)

Nhận thấy đồng thời \({\left( {\sqrt {5 - 2x}  - 1} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) và \(2\sqrt {{x^2} - 4}  \ge 0\) với mọi \(x \le  - 2;{\rm{ }}2 \le x \le \frac{5}{2}.\)

Do đó, để \({\left( {\sqrt {5 - 2x}  - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + 2\sqrt {{x^2} - 4}  = 0\) thì đồng thời \({\left( {\sqrt {5 - 2x}  - 1} \right)^2} = 0\), \({\left( {x - 2} \right)^2} = 0\) và \(2\sqrt {{x^2} - 4}  = 0\).

Suy ra \(x = 2\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 2\).

     a) Với \(m = 3,\) ta có phương trình: \({x^2} - 8x + 16 = 0\) hay \({\left( {x - 4} \right)^2} = 0\), suy ra \(x - 4 = 0\).

Do đó, \(x = 4\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4\) khi \(m = 3.\)

     b) Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\) có:

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - {m^2} - 3m + 2 =  - m + 3\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0\) hay \( - m + 3 \ge 0\), suy ra \(m \le 3\).

Vậy \(m \le 3\) thì phương trình có nghiệm.

     c) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) hay \( - m + 3 > 0\) suy ra \(m < 3.\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 2\end{array} \right.\).

Lại có, \(A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\)

         \(A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - \left( {2{x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2} \right)\)

         \(A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\)

         \(A = 2018 + 5\left( {{m^2} + 3m - 2} \right) - {\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right]^2}\)

         \(A = 2018 + 5{m^2} + 15m - 10 - 4{m^2} - 8m - 4\)

         \(A = {m^2} + 7m + 2004\)

         \(A = {\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{7967}}{4}\)

Ta có: \({\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\), do đó \({\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{7967}}{4} \ge \frac{{7967}}{4}\) hay \(A \ge \frac{{7967}}{4}\).

Vậy GTNN của \(A = \frac{{7967}}{4}\) khi \(m =  - \frac{7}{2}.\)