Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho các điểm \[A\left( {0\,;\,\,4} \right),{\rm{ }}B\left( {1\,;\,\,5} \right),{\rm{ }}C\left( {2\,;\,\,3} \right),{\rm{ }}D\left( {--1\,;\,\,--1} \right).\] Đường thẳng \[4x--3y = --1\] đi qua hai điểm nào trong các điểm đã cho?

Hướng dẫn giải

1. Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\), ta có:

\(AB = BC\,.\,\cos C\) nên

\(BC = \frac{{AB}}{{\cos C}} = \frac{6}{{\frac{3}{5}}} = 10\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {10^2} - {6^2} = 64\), suy ra \(AC = 8\,\,{\rm{cm}}\).

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CBA\) có \(\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ ;\,\,\widehat B\) chung.

Do đó .

Suy ra \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{AB}}\) hay \(A{B^2} = BH\,.\,BC\) nên \(BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy \(BC = 10\,\,{\rm{cm}},\,\,AC = 8\,\,{\rm{cm}},\,\,BH = 3,6\,\,{\rm{cm}}.\)

2. Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là \(CD.\)

Xét \(\Delta BAC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 75\cot \widehat {BCA} = 75\cot 45^\circ = 75\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Xét \(\Delta DAB\) vuông tại \(A\) có \(AD = 75\cot \widehat {BDA} = 75\cot 30^\circ = 75\sqrt 3 \,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là:

\(CD = AD - AC = 75\sqrt 3 - 75 \approx 55\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy chiếc thuyền đi được khoảng 55 mét giữa hai lần quan sát.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{x^2} + 2{y^2} + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.\]

\(\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 7x + 7y + {y^2} + 10 = 0\)

\({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)^2} + 7\left( {x + y} \right) + {y^2} + 10 = 0 & \left( 1 \right)\)

Đặt \[S = x + y\].

Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \[{S^2} + 7S + {y^2} + 10 = 0\]

\({S^2} + 7S + \frac{{49}}{4} = \frac{9}{4} - {y^2}\)

\({\left( {S + \frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4} - {y^2} \le \frac{9}{4}\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{9}{4} - {y^2} = \frac{9}{4}\) hay \(y = 0\).

Do đó \({\left( {S + \frac{7}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{4}\) nên \(\frac{{ - 3}}{2} \le S + \frac{7}{2} \le \frac{3}{2}\) hay \[ - 5 \le S \le - 2.\]

Ta có \(P = \frac{{2x + 2y - 3}}{{x + y + 6}} = \frac{{2\left( {x + y + 6} \right) - 15}}{{x + y + 6}}\) \( = 2 - \frac{{15}}{{x + y + 6}} = 2 - \frac{{15}}{{S + 6}} & \left( 2 \right)\)

Với \[ - \,5 \le S \le - \,2\] thì \(1 \le S + 6 \le 4\)

\(\frac{{15}}{4} \le \frac{{15}}{{S + 6}} \le 15\)

\(2 - 15 \le 2 - \frac{{15}}{{S + 6}} \le 2 - \frac{{15}}{4}\)

\( - 13 \le 2 - \frac{{15}}{{S + 6}} \le - \frac{7}{4}\)

\( - 13 \le P \le - \frac{7}{4}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P\] là \[ - 13\] khi \(x = - 5\,;\,\,y = 0\).

Và giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \(\frac{{ - 7}}{4}\) khi \[x = - 2\,;\,\,y = 0.\]