Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) và \(\widehat B = \alpha .\) Tỉ số \(\frac{{HA}}{{BA}}\) bằng:

(1,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(B = \cot 20^\circ \cdot \cot 40^\circ \cdot \cot 50^\circ \cdot \cot 70^\circ .\)

b) \(A = \cos 40^\circ - \sin 50^\circ + \tan 20^\circ \cot 20^\circ .\)

(1,5 điểm) Từ một đài quan sát, một người đặt mắt tại vị trí \[B.\] Người đó nhìn thấy một chiếc ô tô ở vị trí \[C\] theo phương \[BC\] tạo với phương nằm ngang \[Bx\] một góc là \(\widehat {CBx} = 25^\circ \) với \[Bx\,{\rm{//}}\,AC.\] Khi đó, khoảng cách giữa ô tô và chân đài quan sát là \[AC = 1,221{\rm{\;km}}{\rm{.}}\] Nếu ô tô từ vị trí \[C\] tiếp tục đi về phía chân đài

quan sát với tốc độ \[60\] km/h thì sau 1 phút, người đó nhìn thấy ô tô ở vị trí \[D\] với góc \(\widehat {DBx} = \alpha \) (hình vẽ).

a) Tính chiều cao của đài quan sát (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét), biết độ cao từ tầm mắt của người đó đến đỉnh đài quan sát là \[3\] m.

b) Tính số đo góc \[\alpha \] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của phút).

c) Tính khoảng cách từ mắt người quan sát đến vị trí \[D\] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

(2,0 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0.\)

b) \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\)

c) \[4x + 1 < 2x - 9.\]

d) \(3\left( {x - 2} \right) + 7x \le 4\left( {x + 1} \right) + 14\).

(0,5 điểm) Cho \[x,{\rm{ }}y\] là hai số thực thỏa mãn điều kiện \[{x^2} + 2{y^2} + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.\]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{2x + 2y - 3}}{{x + y + 6}}.\)

Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x - 3}} - 3 = \frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) là

(3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu \(a > 5\) thì \(\frac{{a - 1}}{2} - 2 > 0.\)

b) Xác định hàm số \(y = ax + b\) để đồ thị hàm số đó đi qua hai điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {4;\,\,5} \right)\).

c) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Trong kì thi vào THPT, hai trường A và B có tổng cộng \(500\) học sinh dự thi. Kết quả hai trường đó có \(420\) học sinh trúng tuyển. Trường A có \(80\% \) học sinh trúng tuyển, trường B có \(90\% \) học sinh trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh trúng tuyển.

Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất hai ẩn?