Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là trung điểm cạnh AB. Khi đó:

a) Góc phẳng nhị diện [C, SH, B] là \(\widehat {CHB}\).

b) Góc phẳng nhị diện [C, SH, A] là \(\widehat {CHA}\).

c) Góc phẳng nhị diện [S, AB, C] là \(\widehat {SHC}\).

d) Số đo góc phẳng nhị diện [S, AB, C] bằng 30°.

 a) Ta có: \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \((ABCD)\).

Vì vậy \((SB,(ABCD)) = (SB,AB) = \widehat {SBA}\).

b) Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SBA} \approx 54,74^\circ \).

Vậy \((SB,(ABCD)) = \widehat {SBA} \approx 54,74^\circ \).

c) Ta có \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) nên

\((SC,(ABCD)) = (SC,AC) = \widehat {SCA} = 45^\circ \)(do tam giác \(SAC\) vuông cân có \(SA = AC = a\sqrt 2 \)).

d) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA({\rm{ do }}SA \bot (ABCD))}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB)} \right.\).

Suy ra \(SB\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \((SAB)\).

Do vậy \((SC,(SAB)) = (SC,SB) = \widehat {CSB}\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 3 \).

Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có:

\(\tan \widehat {CSB} = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {CSB} = 30^\circ \).

Vậy \((SC,(SAB)) = \widehat {CSB} = 30^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;    c) Đúng;   d) Sai.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD mà SA ^ BD (SA ^ (ABCD)) Þ BD ^ (SAO)

Þ BD ^ SO.

Do đó [S, BD, A] = \(\widehat {SOA}\).

Xét DSOA có \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{OA}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \).

Vậy góc cần tìm bằng 60°.