Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a, AB = a, AD = 2a. Khi đó:

a) \(\widehat {SOA}\) là góc phẳng nhị diện của góc [S, BD, A].

b) Số đo của góc nhị diện [A, BC, S] bằng 45°.

c) \(\widehat {SCA}\) là góc phẳng nhị diện của góc [S, CD, A].

d) Số đo của góc nhị diện [S, AB, D] bằng 90°.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD mà SA ^ BD (SA ^ (ABCD)) Þ BD ^ (SAO)

Þ BD ^ SO.

Do đó [S, BD, A] = \(\widehat {SOA}\).

Xét DSOA có \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{OA}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \).

Vậy góc cần tìm bằng 60°.

Gọi O là tâm của hình vuông, hạ MH ^ BD.

Ta có SO ^ (ABCD) và \(SO = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Gọi M là trung điểm của OD ta có MH // SO nên H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABCD) và \(MH = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {MBH}\).

Khi đó ta có \(\tan \widehat {MBH} = \frac{{MH}}{{BH}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}:\frac{{3a\sqrt 2 }}{4} = \frac{1}{3}\).