Tìm các tham số thực a, b để hàm số sau liên tục, khả vi tại x = - 2.

\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{x^2} + 4x,x \le - 2}\\{\sin \left( {x + 2} \right) + 2bx,x > - 2}\end{array}} \right.\]

Khi bơm không khí vào trong 1 quả bóng hình cầu đến lúc bán kính hình cầu là 2 cm thì người ta bắt đầu điều chỉnh để tốc độ bơm bóng là 8 cm³/s. Tính tốc độ tăng tương ứng của bán kính hình cầu.

Một xí nghiệp sản xuất độc quyển một loại sản phẩm. Biết hàm cầu \[{Q_D} = 656 - \frac{1}{2}P\left( P \right)\] là đơn giá và hàm tổng chi phí là \[C = {Q^3} - 77.{Q^2} + 1000Q + 4000\] (Q là sản lượng). Xác định mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa?

Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là 𝑄_S = 𝑃 − 200 và 𝑄_D = 4200 − 𝑃 (𝑃 là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế) là 𝑃₁ = 3200. Một công ty được độc quyền xuất khẩu loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất.

Tập xác định của hàm số \[f\left( x \right) = \sin \left( {\arccos \frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)\]

Tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan \left( {{x^2} + 4x} \right) + \ln \left( {1 + 3\tan x} \right) - {x^2}}}{{\arctan \left( {4x} \right) + \cos 2x - {e^x}}}\]

Tìm khai triển Maclaurin của \[f\left( x \right) = \sqrt {1 + \sin x} - \cos x\] đến x³?

Tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}} - 2x}}{{x - \sin x}}\]