Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^n}{4+4^2+4^3+\mathrm{...}+4^n}$

Cho các hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 5;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = 0\). Khi đó:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] = - 3\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{2}{5}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{h\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = 0\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right).h\left( x \right)} \right] = 0\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x - 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x < - 1\\\sqrt {{x^2} + 1} + m\;\;khi\;x \ge - 1\end{array} \right.\). Khi đó

a) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \sqrt 5 + m\).

b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = - 3\).

c) Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \sqrt 2 + m\).

d) Khi \(m = 3 + \sqrt 2 \) thì hàm số đã cho có giới hạn tại x₀ = −1.