Tính giới hạn \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\).     

Ta có \(P = 2,13131313... = 2 + \frac{{13}}{{100}} + \frac{{13}}{{{{100}^2}}} + \frac{{13}}{{{{100}^3}}} + ...\)

Ta có \(\frac{{13}}{{100}} + \frac{{13}}{{{{100}^2}}} + \frac{{13}}{{{{100}^3}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = \frac{{13}}{{100}}\) và \(q = \frac{1}{{100}}\).

Khi đó \(P = 2 + \frac{{\frac{{13}}{{100}}}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{211}}{{99}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2{x^3} - {x^2} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^3}\left( {2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right]\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2{x^3} - {x^2} + 1} \right) =  - \infty \).