(1,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A,\left( {\widehat A < 90^\circ } \right)\). Kẻ \(BH\) vuông góc với \(AC\) tại \(H\) và \(CK\) vuông góc với \(AB\) tại \(K.\) Biết \(BH\) và \(CK\) cắt nhau tại \(I.\)

a) Chứng minh rằng \(\Delta ABH = \Delta ACK.\)

b) Chứng minh rằng \(IB = IC.\)

c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng ba điểm \(A,I,M\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACK\), có:

\(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat {BHA} = \widehat {CKA} = 90^\circ \) (giả thiết)

\(\widehat {KAC} = \widehat {HAB}\) \(\left( { = \widehat {BAC}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ABH = \Delta ACK\) (ch – gn).

b) Từ câu a), ta có: \(\Delta ABH = \Delta ACK\) nên \(\widehat {ABH} = \widehat {ACK}\) (hai góc tương ứng)

Lại có, \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)).

Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {ABH} + \widehat {HBC}\)

\(\widehat {ACB} = \widehat {ACK} + \widehat {KCB}\)

Suy ra \(\widehat {HBC} = \widehat {KCB}\) nên \(\Delta BIC\) cân tại \(I\) nên \(IB = IC.\)

c) Từ a) ta có \(\Delta ABH = \Delta ACK\) (ch – gn) nên \(AH = AK\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta KAI\) và \(\Delta HAI\) có:

\(AI\) chung (giả thiết)

\(AH = AK\) (cmt)

Suy ra \(\Delta KAI = \Delta HAI\) (ch – cgv)

Do đó, \(\widehat {KAI} = \widehat {HAI}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) (1)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM,\) có:

\(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)(\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(AM = MB\) (gt)

Do đó, \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A,I,M\) thẳng hàng.