Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD.

a) Tính các tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} {\rm{.}}\overrightarrow {AM} \].

b) Tính góc \[\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right)\].

a) Tam giác SAD có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra \(SAD = {60^^\circ }\). Tứ giác ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \), suy ra \((\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {BC} ) = (\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AD} ) = SAD = {60^^\circ }\). Do đó \(\overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {BC}  = |\overrightarrow {AS} | \cdot |\overrightarrow {BC} | \cdot \cos {60^^\circ } = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

b) Tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo AC là \(\sqrt 2 a\). Tam giác SAC có \(SA = SC = a\) và \(AC = \sqrt 2 a\) nên tam giác SAC vuông cân tại \(S\), suy ra \(SAC = {45^^\circ }\). Do đó \(\overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {AC}  = |\overrightarrow {AS} | \cdot |\overrightarrow {AC} | \cdot \cos SAC = a \cdot \sqrt 2 a \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).

c) Gọi \({\rm{O}}\) là giạo điểm của hai đường chéo \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\) trong hình vuông \({\rm{ABCD}}\). Do đó, \({\rm{O}}\) là trung diểm của \({\rm{BD}},{\rm{O}}\) là trung diếm của \({\rm{AC}}\).

Tứ giác \({\rm{ABCD}}\) là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo \({\rm{BD}}\) là \(a\sqrt 2  \Rightarrow OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Gọi \({\rm{E}}\) là trung điểm của \({\rm{SC}}\). Mà \({\rm{O}}\) là trung diểm của \({\rm{AC}}\) nên \({\rm{OE}}\) là đường trung bình của tam giác \({\rm{SAC}}\), do đó, \({\rm{OE}}//{\rm{SA}},OE = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\). Suy ra: \(\overrightarrow {AS}  = 2\overrightarrow {OE} \)

Vì \({\rm{O}}\) là trung diểm của \({\rm{BD}}\) nên \(\overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {OB} \)

Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, $B E$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác \({\rm{SBC}}\). Do đó, \(EB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(O{E^2} + O{B^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} = E{B^2}\) nên  EOB vuông tại \({\rm{O}}\). Do đó, \(\overrightarrow {OE}  \bot \overrightarrow {OB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {OE}  \cdot ( - 2\overrightarrow {OB} ) =  - 4\overrightarrow {OE}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0\)

d) Tứ giác ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {BA}  =  - \overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {AB}  =  - |\overrightarrow {AS} | \cdot |\overrightarrow {AB} |\cos (\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AB} ) =  - |\overrightarrow {AS} | \cdot |\overrightarrow {AB} |\cos SAB\)

Vì tam giác \({\rm{SAB}}\) có ba cạnh bằng nhau nên tam giác \({\rm{SAB}}\) dều, suy ra \(SAB = {60^^\circ }\)

Suy ra: \(\overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {CD}  =  - |\overrightarrow {AS} | \cdot |\overrightarrow {AB} |\cos SAB =  - a \cdot a \cdot \cos {60^^\circ } = \frac{{ - {a^2}}}{2}\)