Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD.

a) Tính các tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} {\rm{.}}\overrightarrow {AM} \].

b) Tính góc \[\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right)\].

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=AB\cdot AC\cdot \cos BAC=a\cdot a\cdot \cos {60}^{°}=\frac{a^2}{2}\text{. }$

Tương tự ta cūng có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Ta lại có \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} )\), suy ra:

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB} .\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\]

b) Ta có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right)\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} \]

Mà AM, BM là trung tuyến của các tam giác đều ACD, BCD nên \(\overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MB}  \bot \overrightarrow {CD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 0\).

Từ các kết quả trên ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 0\). Suy ra $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})={90}^{°}$