12 bài tập Góc giữa hai vectơ trong không gian – Tích vô hướng (có lời giải)

Vì \(A{A^\prime }//C{C^\prime }\) và \(A{A^\prime } = C{C^\prime }\) nên \(A{A^\prime }{C^\prime }C\) là hình bình hành.

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \).

Vì AA'B'B là hình vuông nên \(\overrightarrow {{A^\prime }A}  = \overrightarrow {{B^\prime }B} \).

Do đó \(\left( {\overrightarrow {{A^\prime }A} ,\overrightarrow {C{B^\prime }} } \right) = \left( {\overrightarrow {{B^\prime }B} ,\overrightarrow {C{B^\prime }} } \right) = {180^^\circ } - B{B^\prime }C = {180^^\circ } - {45^^\circ } = {135^^\circ }\)

(Vì \(B{B^\prime }{C^\prime }C\) là hình vuông nên \({B^\prime }C\) là phân giác của \(B{B^\prime }{C^\prime }\) ).

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = |\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {AC} | \cdot \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )\)\( = AB \cdot AC \cdot \cos BAC = a \cdot a \cdot \cos {60^^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}{\rm{. }}\)

Tương tự ta cūng có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Ta lại có \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} )\), suy ra:

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB} .\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\]

b) Ta có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right)\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} \]

Mà AM, BM là trung tuyến của các tam giác đều ACD, BCD nên \(\overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MB}  \bot \overrightarrow {CD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 0\).

Từ các kết quả trên ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 0\). Suy ra \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {90^^\circ }\).

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \).

Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} } \right) = \left( {\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} ,\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} } \right) = {B^\prime }{A^\prime }{C^\prime } = {45^^\circ }\) (do \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình vuông nên \({A^\prime }{C^\prime }\) là̀ phân giác của góc \(\left. {{D^\prime }{A^\prime }{B^{\prime \prime }}} \right)\).

Ví \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình vuông cạnh bẳng 1 nên \({A^\prime }{C^\prime } = \sqrt 2 \).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }}  = |\overrightarrow {AB} | \cdot \left| {\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} } \right) = 1 \cdot \sqrt 2  \cdot \cos {45^^\circ } = 1\).

Vì \({\rm{AC}}{{\rm{C}}^\prime }{A^\prime }\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {C{C^\prime }}  = \overrightarrow {A{A^\prime }} \).

Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {C{C^\prime }} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right) = BA{A^\prime } = {90^^\circ }\).

Do đó \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {C{C^\prime }} \). Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {C{C^\prime }}  = 0\).

b) \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{C^\prime }} } \right) = CA{C^\prime }\).

Ta có \(A{C^\prime }\) là đường chéo của hình lập phương cạnh bẳng 1 nên \(A{C^\prime } = \sqrt 3 \).

\({\rm{AC}}\) là đường chéo của hình vuông \({\rm{ABCD}}\) cạnh bằng 1 nên \(AC = \sqrt 2 \).

Xét \({\rm{DACC}}\) có \(\cos CA{C^\prime } = \frac{{A{C^2} + A{C^2} - C{C^2}}}{{2 \cdot AC \cdot A{C^\prime }}} = \frac{{2 + 3 - 1}}{{2 \cdot \sqrt 2  \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow CA{C^\prime } \approx {35^^\circ }{16^\prime }\)

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{C^\prime }} } \right) \approx {35^^\circ }{16^\prime }\).