Câu hỏi:

31/07/2025 43

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AB} {\rm{.}}\overrightarrow {CC'} \].

b) Tính góc \[\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC'} } \right)\] (kết quả làm tròn đến phút).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 12 bài tập Góc giữa hai vectơ trong không gian – Tích vô hướng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1. (ảnh 1)

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} $.

Do đó $(\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = (\vec{A^{'} B^{'}}, \vec{A^{'} C^{'}}) = B^{'} A^{'} C^{'} = 45^{°}$ (do ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình vuông nên ${A^\prime }{C^\prime }$ là̀ phân giác của góc $\left. {{D^\prime }{A^\prime }{B^{\prime \prime }}} \right)$.

Ví ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình vuông cạnh bẳng 1 nên ${A^\prime }{C^\prime } = \sqrt 2 $.

Ta có $\vec{A B} \cdot \vec{A^{'} C^{'}} = | \vec{A B} | \cdot |\vec{A^{'} C^{'}}| \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 45^{°} = 1$

Vì ${\rm{AC}}{{\rm{C}}^\prime }{A^\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {A{A^\prime }} $.

Do đó $(\vec{A B}, \vec{C C^{'}}) = (\vec{A B}, \vec{A A^{'}}) = B A A^{'} = 90^{°}$

Do đó $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {C{C^\prime }} $. Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {C{C^\prime }} = 0$.

b) $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{C^\prime }} } \right) = CA{C^\prime }$.

Ta có $A{C^\prime }$ là đường chéo của hình lập phương cạnh bẳng 1 nên $A{C^\prime } = \sqrt 3 $.

${\rm{AC}}$ là đường chéo của hình vuông ${\rm{ABCD}}$ cạnh bằng 1 nên $AC = \sqrt 2 $.

Xét ${\rm{DACC}}$ có $\cos C A C^{'} = \frac{A C^{2} + A C^{2} - C C^{2}}{2 \cdot A C \cdot A C^{'}} = \frac{2 + 3 - 1}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow C A C^{'} \approx 35^{°} 16^{'}$

Vậy $(\vec{A C}, \vec{A C^{'}}) \approx 35^{°} 16^{'}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD.

a) Tính các tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} {\rm{.}}\overrightarrow {AM} \].

b) Tính góc \[\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right)\].

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD. (ảnh 1)

a) Ta có: $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = | \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} | \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$ $= A B \cdot A C \cdot \cos B A C = a \cdot a \cdot \cos 60^{°} = \frac{a^{2}}{2} .$

Tương tự ta cūng có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Ta lại có $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} )$, suy ra:

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} .\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\]

b) Ta có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right)\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} \]

Mà AM, BM là trung tuyến của các tam giác đều ACD, BCD nên $\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {CD} $.

Suy ra $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0$.

Từ các kết quả trên ta có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0$. Suy ra $(\vec{A B}, \vec{C D}) = 90^{°}$

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt bên ASB là tam giác vuông cân tại S và có cạnh AB = a. Gọi M là trung điểm của AB. Hăy tính:

a) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {BS} $;

b) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {AS} $;

c) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {MS} $.

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $AB//CD$. Gọi $E$ là điểm thuộc tia $A B$ sao cho $\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {DC} $.

Ta có:

$(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} ) = (\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BS} ) = \widehat {EBS}{\rm{. }}$ vuông cân (tại $S$ ) nên $\hat{S B A} = 45^{°}$

Suy ra $\hat{E B S} = 180^{°} - 45^{°} = 135^{°}$ , hay $(\vec{D C}, \vec{B S}) = 135^{°}$ .

Mặt khác, do $AB = a$ nên $AS = BS = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Từ đó ta có: $\vec{D C} \cdot \vec{B S} = | \vec{D C} | \cdot | \vec{B S} | \cdot \cos (\vec{D C}, \vec{B S}) = a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \cos 135^{°} = a^{2} \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) .$

Vậy $\vec{D C} \cdot \vec{B S} = - \frac{a^{2}}{2}$

b) $\vec{D C} \cdot \vec{A S} = \vec{A B} \cdot \vec{A S} = | \vec{A B} | \cdot | \vec{A S} | \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A S}) = a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \cos 45^{°} = \frac{a^{2}}{2}$ .

c) Tam giác ASB cân tại $S$ và $M$ là trung điểm của cạnh $A B$ nên $SM \bot AB$, hay $\overrightarrow {MS} \bot \overrightarrow {AB} $. Suy ra $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {MS} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {MS} = 0$.

Câu 3