Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và \[\widehat {BAA'} = \widehat {BAD} = \widehat {DAA'} = {60^o}\].

a) Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {B'D'}  = 0\]

b) Tính độ dài đường chéo AC’.

a) Giả sử cạnh của hình lập phương \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) bằng 1 . Khi đó, \({A^\prime }{C^\prime } = {B^\prime }{D^\prime } = \sqrt 2 \) Gọi \({{\rm{E}}^\prime }\) là giao điểm của hai đường chéo \({A^\prime }{C^\prime }\) và \({B^\prime }{D^\prime }\) của hình vuông \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Khi đó, \({E^\prime }\) là trung diềm của \({A^\prime }{C^\prime }\) và \({B^\prime }{D^\prime }\). Suy ra \(\overline {{B^\prime }{D^\prime }}  = 2\overline {{E^\prime }{D^\prime }} \) và \({E^\prime }{D^\prime } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Gọi \({\rm{E}}\) là trung diểm của \({\rm{C}}{{\rm{C}}^\prime }\). Mà \({{\rm{E}}^\prime }\) là trung diểm của \({{\rm{A}}^\prime }{{\rm{C}}^\prime }\) nên \({\rm{EE}}\) là đường trung bình của tam giác \({{\rm{A}}^\prime }{C^\prime }{\rm{C}}\). Do đó, \(\overrightarrow {{A^\prime }C}  = 2\overrightarrow {{E^\prime }E} \) và \({E^\prime }E = \frac{1}{2}{A^\prime }C\)

Áp dụng định lí Pythagore vào  vuông tại \({C^\prime }\) có: \({A^\prime }C = \sqrt {{A^\prime }{C^2} + {C^\prime }{C^2}}  = \sqrt {2 + 1}  = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {E^\prime }E = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta {{\rm{D}}^\prime }{{\rm{C}}^\prime }{\rm{E}}\) vuông tại \({{\rm{C}}^\prime }\) có:

\(E{D^{\prime 2}} = {C^\prime }{D^2} + {C^\prime }{E^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\)

Vì \({E^\prime }{D^{\prime 2}} + {E^\prime }{E^2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} = E{D^{\prime 2}}\) nên \(\Delta {E^\prime }{D^\prime }\) E vuông tại \({{\rm{E}}^\prime }\). Do đó, \(\overrightarrow {{E^\prime }E}  \bot \overrightarrow {{E^\prime }{D^\prime }} \)

Ta có: \(\overline {{A^\prime }C}  \cdot \overline {{B^\prime }{D^\prime }}  = 2 \cdot \overline {{E^\prime }E}  \cdot 2 \cdot \overline {{E^\prime }{D^\prime }}  = 0({\rm{dpcm}})\)