Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và \[\widehat {BAA'} = \widehat {BAD} = \widehat {DAA'} = {60^o}\].

a) Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {B'D'}  = 0\]

b) Tính độ dài đường chéo AC’.

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=AB\cdot AC\cdot \cos BAC=a\cdot a\cdot \cos {60}^{°}=\frac{a^2}{2}\text{. }$

Tương tự ta cūng có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Ta lại có \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} )\), suy ra:

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB} .\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\]

b) Ta có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right)\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} \]

Mà AM, BM là trung tuyến của các tam giác đều ACD, BCD nên \(\overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MB}  \bot \overrightarrow {CD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 0\).

Từ các kết quả trên ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 0\). Suy ra $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})={90}^{°}$

a) Tam giác SAD có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra $SAD={60}^{°}$. Tứ giác ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \), suy ra $(\overrightarrow{AS},\overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{AS},\overrightarrow{AD})=SAD={60}^{°}$. Do đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{AS}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot \cos {60}^{°}=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$

b) Tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo AC là \(\sqrt 2 a\). Tam giác SAC có \(SA = SC = a\) và \(AC = \sqrt 2 a\) nên tam giác SAC vuông cân tại \(S\), suy ra $SAC={45}^{°}$. Do đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AS}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \cos SAC=a\cdot \sqrt{2}a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$.

c) Gọi \({\rm{O}}\) là giạo điểm của hai đường chéo \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\) trong hình vuông \({\rm{ABCD}}\). Do đó, \({\rm{O}}\) là trung diểm của \({\rm{BD}},{\rm{O}}\) là trung diếm của \({\rm{AC}}\).

Tứ giác \({\rm{ABCD}}\) là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo \({\rm{BD}}\) là $a\sqrt{2}\Rightarrow OB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Gọi \({\rm{E}}\) là trung điểm của \({\rm{SC}}\). Mà \({\rm{O}}\) là trung diểm của \({\rm{AC}}\) nên \({\rm{OE}}\) là đường trung bình của tam giác \({\rm{SAC}}\), do đó, \({\rm{OE}}//{\rm{SA}},OE = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\). Suy ra: \(\overrightarrow {AS}  = 2\overrightarrow {OE} \)

Vì \({\rm{O}}\) là trung diểm của \({\rm{BD}}\) nên \(\overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {OB} \)

Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, $B E$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác \({\rm{SBC}}\). Do đó, \(EB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(O{E^2} + O{B^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} = E{B^2}\) nên  EOB vuông tại \({\rm{O}}\). Do đó, \(\overrightarrow {OE}  \bot \overrightarrow {OB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {OE}  \cdot ( - 2\overrightarrow {OB} ) =  - 4\overrightarrow {OE}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0\)

d) Tứ giác ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {BA}  =  - \overrightarrow {AS}  \cdot \overrightarrow {AB}  =  - |\overrightarrow {AS} | \cdot |\overrightarrow {AB} |\cos (\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AB} ) =  - |\overrightarrow {AS} | \cdot |\overrightarrow {AB} |\cos SAB\)

Vì tam giác \({\rm{SAB}}\) có ba cạnh bằng nhau nên tam giác \({\rm{SAB}}\) dều, suy ra $SAB={60}^{°}$

Suy ra: $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}=-\left|\overrightarrow{AS}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|\cos SAB=-a\cdot a\cdot \cos {60}^{°}=\frac{-a^2}{2}$