Trong không gian, cho hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] khác \[\overrightarrow 0 \]. Lấy điểm O và vẽ các vec tơ \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \]. Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vec tơ \[\overrightarrow {O'A'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {O'B'} = \overrightarrow b \]

a) Giải thích vì sao \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \]

b) Áp dụng định lí cosin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao \[\widehat {AOB} = \widehat {A'O'B'}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 12 bài tập Góc giữa hai vectơ trong không gian – Tích vô hướng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} = \overrightarrow {{A^\prime }{O^\prime }} + \overrightarrow {{O^\prime }{B^\prime }} $

Mà $\overrightarrow {OA} = \vec a,\overrightarrow {OB} = \vec b,\overrightarrow {{O^\prime }{A^\prime }} = \vec a,\overrightarrow {{O^\prime }{B^\prime }} = \vec b \Rightarrow \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {{A^\prime }{O^\prime }} ;\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{O^\prime }{B^\prime }} $

Do đó, $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} $

b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có: $\cos AOB = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA \cdot OB}}$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ${{\rm{A}}^\prime }{A^\prime }{B^\prime }$ ta có: $\cos {A^\prime }{O^\prime }{B^\prime } = \frac{{{O^\prime }{A^{\prime 2}} + {O^\prime }{B^2} - {A^\prime }{B^2}}}{{2 \cdot {O^\prime }{A^\prime } \cdot {O^\prime }{B^\prime }}}$

vi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \Rightarrow AB = {A^\prime }{B^\prime },\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {{A^\prime }{O^\prime }} \Rightarrow OA = {O^\prime }{A^\prime };\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{O^\prime }{B^\prime }} \Rightarrow OB = {O^\prime }{B^\prime }$

Do đó, $\cos AOB = \cos {A^\prime }{O^\prime }{B^\prime } \Rightarrow AOB = {A^\prime }{O^\prime }{B^\prime }$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD.

a) Tính các tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} {\rm{.}}\overrightarrow {AM} \].

b) Tính góc \[\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right)\].

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD. (ảnh 1)

a) Ta có: $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = | \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} | \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$ $= A B \cdot A C \cdot \cos B A C = a \cdot a \cdot \cos 60^{°} = \frac{a^{2}}{2} .$

Tương tự ta cūng có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Ta lại có $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} )$, suy ra:

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} .\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\]

b) Ta có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right)\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} \]

Mà AM, BM là trung tuyến của các tam giác đều ACD, BCD nên $\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {CD} $.

Suy ra $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0$.

Từ các kết quả trên ta có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0$. Suy ra $(\vec{A B}, \vec{C D}) = 90^{°}$

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt bên ASB là tam giác vuông cân tại S và có cạnh AB = a. Gọi M là trung điểm của AB. Hăy tính:

a) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {BS} $;

b) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {AS} $;

c) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {MS} $.

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $AB//CD$. Gọi $E$ là điểm thuộc tia $A B$ sao cho $\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {DC} $.

Ta có:

$(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} ) = (\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BS} ) = \widehat {EBS}{\rm{. }}$ vuông cân (tại $S$ ) nên $\hat{S B A} = 45^{°}$

Suy ra $\hat{E B S} = 180^{°} - 45^{°} = 135^{°}$ , hay $(\vec{D C}, \vec{B S}) = 135^{°}$ .

Mặt khác, do $AB = a$ nên $AS = BS = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Từ đó ta có: $\vec{D C} \cdot \vec{B S} = | \vec{D C} | \cdot | \vec{B S} | \cdot \cos (\vec{D C}, \vec{B S}) = a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \cos 135^{°} = a^{2} \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) .$

Vậy $\vec{D C} \cdot \vec{B S} = - \frac{a^{2}}{2}$

b) $\vec{D C} \cdot \vec{A S} = \vec{A B} \cdot \vec{A S} = | \vec{A B} | \cdot | \vec{A S} | \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A S}) = a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \cos 45^{°} = \frac{a^{2}}{2}$ .

c) Tam giác ASB cân tại $S$ và $M$ là trung điểm của cạnh $A B$ nên $SM \bot AB$, hay $\overrightarrow {MS} \bot \overrightarrow {AB} $. Suy ra $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {MS} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {MS} = 0$.

Câu 3